Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cono Sur Olympiad 2014

cono sur brazil argentina uruguay paraguay chile peru bolivia

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 23-08-2014 - 17:44

cono%20sur.png


Cono Sur Olympiad 2014

 
Ngày 1: 18/08/2014
 
Bài 1. Ta viết các số từ $1$ đến $2014$ trên bảng. Ta định nghĩa một phép biến đổi cho phép ta xóa hai số $a$ và $b$ bất kỳ ở trên bảng và thay chúng bằng Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất của cặp $(a,b)$.

Chứng minh rằng, bất kể số lần ta thực hiện biến đổi, tổng của tất cả các số hiện trên bảng luôn lớn hơn $2014\times \sqrt[2014]{2014!}$.

Bài 2. Một cặp số $(a,b)$ được gọi là charrúa nếu tồn tại một số nguyên dương $c$ sao cho cả hai $a+b+c$ và $a\times b\times c$ đều là các số chính phương; Nếu không có số $c$ thỏa mãn, ta gọi cặp số đó là no-charrúa.

a) Chứng minh rằng ta có thể có vô số các cặp số no-charrúa.
b) Chứng minh rằng tồn tại vố số các số $n$ sao cho cặp $(2,n)$ là charrúa.

Bài 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ và một điểm $P$ nằm ngoài sao cho $\angle{BPC} = 90^{\circ}$ và diện tích của ngũ giác $ABPCD$ bằng với $AB^{2}$.

Chứng minh rằng $ABPCD$ có thể được chia làm $3$ mảnh bằng các đường cắt thẳng sao cho ta có thể dựng được một hình vuông từ $3$ mảnh đó mà không để lại lỗ trong hình vuông và các miếng đó không được chồng lên nhau.

(Các mảnh đó có thể được dịch chuyển, quay hay lật ngược lại để tạo thành hình vuông).
 
 
Ngày 2: 19/08/2014

Bài 4. Hãy chỉ ra rằng $n^{2} - 2^{2014}\times 2014n + 4^{2013} (2014^{2}-1)$ không phải là một số nguyên tố, trong đó, $n$ là một số nguyên dương.

Bài 5. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn tâm $O$, với điểm đó nằm trong $ABCD$ và $\angle{BAC} = \angle{ODA}$. Hai đường thẳng $AC$ và $BD$ giao nhau tại $E$. Ta vẽ các đường thẳng $r$ và $s$ qua $E$ sao cho $r$ vuông góc với $BC$, và $s$ vuông góc với $AD$. Lấy $P$ là giao điểm của $r$ với $AD$, và $M$ là giao điểm của $s$ với $BC$. Cho $N$ là trung điểm của $EO$.

Chứng minh rằng các điểm $M$, $N$, và $P$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Bài 6. Cho $F$ là một họ các tập con của $S = \left \{ 1,2,...,n \right \}$ $(n \geq 2)$. Trong mỗi lần chơi được cho phép, ta chọn hai tập hợp $A$ và $B$ không giao nhau từ $F$, và thêm tập $A \cup B$ vào $F$ (mà không loại $A$ và $B$ ra ngoài).

Ban đầu, $F$ xuất phát với tất cả các tập con chỉ gồm $1$ phần tử của $S$. Mục đích là tạo nên tất cả các tập con gồm $n - 1$ phần of $S$ trong $F$ bằng các lần chơi trên.

Tìm số các lần chơi thấp nhất cần thiết để đạt được đích.
 

--- Hết ---

*Charrúa được nhắc đến là tên bộ tộc bản địa của Nam Mỹ.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 23-08-2014 - 18:02

^^~




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh