Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyentiendung9372]

Cho $\Delta ABC$ có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. Chứng minh rằng $\overrightarrow {OH}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyentiendung9372: 24-08-2014 - 09:53

[quangnghia]

Cho $\Delta ABC$ có $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $H$ là trực tâm. Chứng minh rằng $\overrightarrow {OH}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} $

Kẻ đường kính AD

Ta có BH song song DC ( cùng vuông góc AC )

BD song song CH (cùng vuông góc AB )

$\Rightarrow$ BHCD là hình bình hành

Gọi L là trung điểm BC.$\Rightarrow$ L là trung điểm HB ( BHCD là hình bình hành)

$\Rightarrow AH=2OL$ ( OL là đường trung bình)

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OL}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

[Messi10597]

Gọi giao của BO với đường tròn là D

Do $\left\{\begin{matrix} DC\perp BC & & \\ AH\perp BC & & \end{matrix}\right.\Rightarrow AH\parallel DC$

Do $\left\{\begin{matrix} CH\perp AB & & \\ AD\perp AB & & \end{matrix}\right.\Rightarrow CH\parallel AD$

$\Rightarrow AHCD$ là hình bình hành $\Rightarrow AH=DC\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}$

Gọi M là tung điểm BC thì OM vuông góc với BC 

Suy ra OM là đường trung bình của $\Delta BCD$

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OH}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$

Mà $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\Rightarrow \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

 

[Christian Goldbach]

Dùng phép chiếu.