Gọi giao của BO với đường tròn là D
Do $\left\{\begin{matrix} DC\perp BC & & \\ AH\perp BC & & \end{matrix}\right.\Rightarrow AH\parallel DC$
Do $\left\{\begin{matrix} CH\perp AB & & \\ AD\perp AB & & \end{matrix}\right.\Rightarrow CH\parallel AD$
$\Rightarrow AHCD$ là hình bình hành $\Rightarrow AH=DC\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\overrightarrow{DC}$
Gọi M là tung điểm BC thì OM vuông góc với BC
Suy ra OM là đường trung bình của $\Delta BCD$
$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AH}$
$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OH}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$
Mà $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\Rightarrow \overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$