KỲ THI OLYMPIC TOÁN HỌC NGHỆ- TĨNH LẦN 2 NĂM 2013-2014
NGÀY 1
Câu 1 : Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=1,a_2=5$ và $a_n=\dfrac{a_{n-1}^2+4}{a_{n-2}}$. Chứng minh mọi số hạng của dãy đều nguyên và tìm công thức tổng quát của dãy.
Câu 2 : Cho $p$ là một số nguyên tố và hàm $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ được định nghĩa :
a) Chứng minh rằng với $p>3$ thì $f(n)=2pQ_n(p)+1$ trong đó $Q_n(p)$ là đa thức biến $p$ sao cho $Q_n(p)\equiv 1\;\pmod 2$.
b) Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $f(k)$ là số chính phương.
Câu 3 : Tam giác $ABC$ có $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ của đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác. Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác. Đường tròn $(M_a)$ tiếp xúc trong với $(O)$ tại $K$ và tiếp xúc $AB,AC$ ở $E,F$. Các đường thẳng qua $E,F$ lần lượt vuông góc với $CI,BI$ cắt nhau tại $Q$.
a) Chứng minh $E,I,F$ thẳng hàng.
b) Chứng minh $IQ$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 4 : Một cuộc họp có $12k$ người và mỗi người bắt tay với đúng $3k+6$ người còn lại. Biết rằng với mọi cách chọn cặp hai người, số người bắt tay với cả hai là như nhau. Hỏi cuộc họp có bao nhiêu người ?
NGÀY 2 :
Câu 5 : Cho $a,b,c,d>0$ có tổng bằng $4$. Tìm giá trị nhỏ nhất :
$$P=\dfrac{(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)(d^2+1)}{abc+bcd+cda+dab}$$
Câu 6 : Cho hình thang $ABCD$ có hai đáy $AB,CD$. Đường tròn $(O_1)$ tiếp xúc $DA,AB,BC$ tại $E,F,G$. Gỉa sử $GE,GF$ cắt $AC$ tại $I,H$. $BI,AD$ cắt nhau tại $J$.
1) Gọi $Z$ đối xứng với $J$ qua $C$. $HZ,BI$ giao nhau tại $K$. Chứng minh $AK$ song song $JC$.
2) $AK$ giao $BC$ tại $Q$. Chứng minh $QADC$ nội tiếp.
Câu 6 : Trong ngày khai mạc giải cờ vua Linares có $100$ kỳ thủ tham gia. Họ vui vẻ bắt tay lẫn nhau. Sau khi đếm được $100$ cái bắt tay, ông trưởng ban tổ chức tuyên bố "Bây giờ tôi muốn tổ chức một giải cờ nhanh đặc biệt giữa những người chưa kịp bắt tay nhau !". Tìm số $k$ lớn nhất mà trong mọi trường hợp, ban tổ chức luôn có thể tìm được $k$ người đôi một chưa bắt tay nhau để thực hiện điều này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 27-08-2014 - 09:55