Chủ đề này có 6 trả lời

[PT Quang 831]

1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$

[chardhdmovies]

1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$

1,$a,b,c>0$ nữa chứ nhỉ

2,hình như là $a^2b$ thì phải

[dogsteven]

Problem 1:

$$f(x,y,z)=\sum \frac{1}{x^2}-2\sum x$$

$$f(x,y,z)-f(x,\sqrt{yz},\sqrt{yz})=\frac{(y-z)^2}{(yz)^2}-2\left(\sqrt{y}-\sqrt{z}\right)^2 \geqslant 0$$

$$\Leftrightarrow (\sqrt{y}-\sqrt{z})^2\left[\frac{y+z+2\sqrt{yz}}{(yz)^2}-2\right] \geqslant 0$$

Let $yz\leqslant 1$ then $\frac{y+z+2\sqrt{yz}}{(yz)^2} \geqslant \frac{4\sqrt{yz}}{(yz)^2} \geqslant 4$

 

Let $y=z$ and $x\geqslant 1$:

$$f(x,y,z)=\dfrac{2x^4-2x^3+3x^2-4x+1}{x^2} = \frac{(2x^3+3x-1)(x-1)}{x^2} \geqslant \frac{4(x-1)}{x^2} \geqslant 0$$

[cachuoi]

cách 2 cho bài 1 rất ngắn gọn 
giả sử trong 3 số abc có 2 số a và b cùng phía với 1 khi đó ab+1 >= a+b tức là a+b <= 1/c+1 
do vậy ta chỉ cần chứng minh 
sigma 1/a^2 + 3>= 2/c +2c+2 
áp dụng am gm 1/a^2+1/b^2 >= 2/ab =2c vậy ta chỉ cần cm 1/c^2 +3 >= 2/c +2 đúng theo am gm

[nguyenhongsonk612]

1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$

$1)$ Đặt $\begin{pmatrix} \frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c} \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x;y;z \end{pmatrix}\Rightarrow xyz=1$

BĐT cần C/m tương đương với $x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$ $(*)$

Đây là $1$ kết quả quen thuộc. Có thể chứng minh như thế này

Theo nguyên lý Đirichlet thì tồn tại ít nhất trong $3$ số $x-1;y-1;z-1$ $2$ số cùng dấu. Giả sử đó là $x-1;y-1$ $\Rightarrow (x-1)(y-1)\geq 0\Leftrightarrow xyz\geq xz+yz-z$

$\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1$

Cần C/m $x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\geq 2xy+2yz+2zx\Leftrightarrow (x-y)^2+(z-1)^2\geq 0$ (luôn đúng)

BĐT được C/m xong

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-12-2014 - 23:46

[cachuoi]

 bài 2 cũng dùng dirichlet thôi

[nguyenhongsonk612]

1) Cho $abc=1$
CMR: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$
2) Cho $0\leq a.b.c\leq 1$
CMR: $a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$

Bài $2$

Lời giải:

Xét tích $(1-a^3)(1-b^3)(1-c^3)\geq 0\Leftrightarrow 1+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3-a^3-b^3-c^3\geq a^3b^3c^3\geq 0\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\leq 1+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3$

Với $a,b,c \in [0;1]$ thì ta có nhận xét sau $a^3 \leq a$

$\Rightarrow 1+a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\leq 1+a^3b+b^3c+c^3a$

$\Rightarrow$ Đpcm

Dấu "=" $\Leftrightarrow$ có $2$ số bằng $1$, một số bằng $0$ hoặc hai số bằng $0$, một số bằng $1$

 

-------------------------------

Trình bày ra cho mọi người cùng xem đi cậu. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 12-12-2014 - 23:50