$2\leq (1+\frac{1}{n})^n <3 (n\in N*)$
Chứng minh quy nạp:$2\leq (1+1/n)^n <3 (n\in N*)$
#1
Đã gửi 27-08-2014 - 18:36
#3
Đã gửi 28-08-2014 - 20:29
BĐT đúng với n=1.
Với n=2, theo khai triển $(a+b)^{n}$ có:
$(1+\frac{1}{n})^{n}=1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}.\frac{1}{n^{2}}+...+ \frac{n(n-1)..2.1}{n^{n}}< 2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})$.
Ta sẽ chứng minh: $2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})<3$.
$\Leftrightarrow \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.(n-1)}$.
$\Leftrightarrow 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2+1-\frac{1}{n}<3$.
$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{n})^{n}<3$.
Được 1 vế.
Vế còn lại ta chứng minh theo BĐT Bernoulli: $(1+\frac{1}{n})^{n}\geq 1+\frac{n}{n}= 2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 28-08-2014 - 20:33
- dobati yêu thích
#4
Đã gửi 30-08-2014 - 10:05
Thầy mình có hướng dẫn chứng minh vế sau là : Chứng minh
$(1+\frac{1}{n})^{k} < \frac{n^{2}}{k^{2}}+\frac{n}{k} +1 (1\leq k\leq n)$
Qui nạp theo k. Khi lấy n=k ta có đpcm
NHƯNG vẫn chưa giải được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dobati: 30-08-2014 - 10:06
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh