Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh quy nạp:$2\leq (1+1/n)^n <3 (n\in N*)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
dobati

dobati

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

$2\leq (1+\frac{1}{n})^n <3 (n\in N*)$



#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Vế đầu:

 

Theo BDT Bernoulli: $(1+\dfrac{1}{n})^n \ge 1+\dfrac{n}{n}=2$

 

Đẳng thức xảy ra khi $n=1$

 

Vế sau em thua :))


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 27-08-2014 - 19:10

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
xxthieuongxx

xxthieuongxx

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 92 Bài viết

BĐT đúng với n=1.

Với n=2, theo khai triển $(a+b)^{n}$ có:

$(1+\frac{1}{n})^{n}=1+n.\frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}.\frac{1}{n^{2}}+...+ \frac{n(n-1)..2.1}{n^{n}}< 2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})$.

Ta sẽ chứng minh: $2+(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!})<3$.

$\Leftrightarrow \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.(n-1)}$.

$\Leftrightarrow 2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}<2+1-\frac{1}{n}<3$.

$\Leftrightarrow (1+\frac{1}{n})^{n}<3$.

 

Được 1 vế.

 

Vế còn lại ta chứng minh theo BĐT Bernoulli: $(1+\frac{1}{n})^{n}\geq 1+\frac{n}{n}= 2$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxthieuongxx: 28-08-2014 - 20:33


#4
dobati

dobati

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

Thầy mình có hướng dẫn chứng minh vế sau là : Chứng minh 

$(1+\frac{1}{n})^{k} < \frac{n^{2}}{k^{2}}+\frac{n}{k} +1 (1\leq k\leq n)$

 Qui nạp theo k. Khi lấy n=k ta có đpcm 

 NHƯNG vẫn chưa giải được


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dobati: 30-08-2014 - 10:06





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh