Chủ đề này có 1 trả lời

[terencetao25]

Có bao nhiêu  tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác đều 2014 cạnh

[chanhquocnghiem]

Có bao nhiêu  tam giác nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác đều 2014 cạnh

Xét đa giác đều $A_{1}A_{2}A_{3}...A_{2014}$

Trước hết ta tính số tam giác không nhọn có đỉnh là đỉnh của đa giác đều đó.Gọi số tam giác không nhọn đó là $M$.

Ta nhận xét rằng tam giác $A_{x}A_{y}A_{z}$ không nhọn nếu tồn tại nửa đường tròn chứa cả 3 đỉnh của nó.

+ Xét nửa đường tròn chứa 1008 đỉnh $A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{1008}$ ---> $C_{1008}^{3}$ tam giác không nhọn.

+ Xét nửa đường tròn chứa 1008 đỉnh $A_{2},A_{3},A_{4},...,A_{1009}$ 

   Có thêm các tam giác không nhọn mới bằng cách chọn $A_{1009}$ và 2 trong 1007 đỉnh còn lại ---> thêm $C_{1007}^{2}$ tam giác ko nhọn.

 

+ Xét nửa đường tròn chứa 1008 đỉnh $A_{3},A_{4},A_{5},...,A_{1010}$ 

   Có thêm các tam giác không nhọn mới bằng cách chọn $A_{1010}$ và 2 trong 1007 đỉnh còn lại ---> thêm $C_{1007}^{2}$ tam giác ko nhọn.

+ .........................................................................................

+ ........................................................................................

 

+ Xét nửa đường tròn chứa 1008 đỉnh $A_{1009},A_{1010},A_{1011},...,A_{2}$ 

   Có thêm các tam giác không nhọn mới bằng cách chọn $A_{2}$ và 2 trong 1007 đỉnh còn lại ---> thêm $C_{1007}^{2}$ tam giác ko nhọn.

 

+ Xét nửa đường tròn chứa 1008 đỉnh $A_{1010},A_{1011},A_{1012},...,A_{3}$ 

   Có thêm $C_{1007}^{2}-C_{2}^{2}$ tam giác ko nhọn ($C_{2}^{2}$ là số tam giác ko nhọn có đỉnh $A_{3}$ từ $A_{1},A_{2},A_{3}$)

 

+ Xét nửa đường tròn chứa 1008 đỉnh $A_{1011},A_{1012},A_{1013},...,A_{4}$ 

   Có thêm $C_{1007}^{2}-C_{3}^{2}$ tam giác ko nhọn ($C_{3}^{2}$ là số tam giác ko nhọn có đỉnh $A_{4}$ từ $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$)

+ .........................................................................................

+ .........................................................................................

 

+ Xét nửa đường tròn chứa 1008 đỉnh $A_{2014},A_{1},A_{2},...,A_{1007}$ 

   Có thêm $C_{1007}^{2}-C_{1006}^{2}$ tam giác ko nhọn ($C_{1006}^{2}$ là số tam giác ko nhọn có đỉnh $A_{1007}$ từ $A_{1},A_{2},...,A_{1007}$)

 

$\Rightarrow M=C_{1008}^{3}+2003C_{1007}^{2}-\sum_{k=2}^{1006}C_{k}^{2}$

$\Rightarrow$ số tam giác nhọn thỏa mãn ĐK đề bài là :

$C_{2014}^{3}-M=C_{2014}^{3}-C_{1008}^{3}-2013C_{1007}^{2}+\sum_{k=2}^{1006}C_{k}^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 01-09-2014 - 16:45