Chủ đề này có 6 trả lời

[Zurnie]

B1 , Cho x,y,z>0 và  x+y$\leq$z

Tìm MinA=$\sum x^{4}.\sum \frac{1}{x^{4}}$

B2,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1

Tìm MinA=$\sum \frac{x^{4}}{\left ( x^{2}+ y^{2} \right)\left ( x+  y\right)}$

B3,Cho a,b,c>0 và thỏa mãn : $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

Tìm MaxP=abc

B4,Cho 0<a,b,c<1 và thỏa mãn :ab+bc+ca=1

Tìm MaxP=$\frac{a^{2}\left ( 1-2b \right )}{b}+ \frac{b^{2}\left ( 1-2c \right )}{c}+\frac{c^{2}\left ( 1-2a \right )}{a}$.

B5,Cho a,b,c>0 và thỏa mãn  $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}$

Tìm MinB=a+b+c

B6, Cho x,y,z>0 và thỏa mãn   x+y+z=1

Tìm MinP=$\left ( x+2y+3z \right )\left ( 6x+3y+2z \right )$

B7, Cho a,b,c>0 và thỏa mãn  a+b+c=1

Tìm MinA=$\frac{9}{1-2\left ( ab+bc+ca \right )}+\frac{2}{abc}$

B8,Cho x,y,z>0 và thỏa mãn x+y+z=3

Tìm MinA= $\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

B9, Cho x,y,z>0 và thỏa mãn $2\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=1$

Tìm MinA= $\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}$

B10,Cho 0<x,y,z<1 và thỏa mãn xy+yz+zx+xyz=1

Tìm MaxP=$\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}$

B11, Cho a,b,c>1

CMR: $\frac{a}{\sqrt{b}-1}+\frac{b}{\sqrt{c}-1}+\frac{c}{\sqrt{a}-1}$$\geq 12$

B12, Cho x,y,z>0 và x+y+z=3

Tìm MinP= $\frac{x^{2}+yz}{xz+y}+\frac{y^{2}+zx}{xy+z}+\frac{z^{2}+xy}{yz+x}$

 

 

 

 

@MOD : Những bài toán có chung chủ để bạn nên gộp lại làm một , không nên đăng nhiều bài cùng chủ đề trong cùng một khoảng thời gian như thế nhé 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 28-08-2014 - 21:05

[Mikhail Leptchinski]

Cho x,y,z>0

       x+y$\leq$z

Tìm MinA=$\sum x^{4}.\sum \frac{1}{x^{4}}$

 

 

Vì $x,y>0$ có $P\geq \left ( \frac{(x^2+y^2)^2}{2}+z^4 \right )(\frac{2}{x^2y^2}+\frac{1}{z^4})\geq \left ( \frac{(x+y)^4}{8}+z^4 \right )\left ( \frac{32}{(x+y)^4}+\frac{1}{z^4} \right )$$P\geq \left ( \frac{(x^2+y^2)^2}{2}+z^4 \right )(\frac{2}{x^2y^2}+\frac{1}{z^4})\geq \left ( \frac{(x+y)^4}{8}+z^4 \right )\left ( \frac{32}{(x+y)^4}+\frac{1}{z^4} \right )$

Đặt $t=\frac{(x+y)^4}{t^4}.(t\in \left [ 0;1 \right ])$

Suy ra $p\geq (\frac{t}{8}+1)(\frac{32}{t}+1)=5+\frac{t}{8}+\frac{32}{t}=5+(\frac{t}{8}+\frac{1}{8t})+(\frac{32}{t}-\frac{1}{8t})=5+\frac{1}{8}(t+\frac{1}{t})+(32-\frac{1}{8}).\frac{1}{t}\geq 5+\frac{2}{8}+(32-\frac{1}{8})=\frac{297}{8}$$p\geq (\frac{t}{8}+1)(\frac{32}{t}+1)=5+\frac{t}{8}+\frac{32}{t}=5+(\frac{t}{8}+\frac{1}{8t})+(\frac{32}{t}-\frac{1}{8t})=5+\frac{1}{8}(t+\frac{1}{t})+(32-\frac{1}{8}).\frac{1}{t}\geq 5+\frac{2}{8}+(32-\frac{1}{8})=\frac{297}{8}$

Dấu bằng xảy ra $x=y=\frac{z}{2}$

 

 

Đây là bài toán đăng toán học tuổi trẻ số 433.

Một bổ đề tương tự cũng thi học sinh giỏi quốc gia.

Cho $x+y=z$.Tìm min $\sum x^2.\sum \frac{1}{x^2}$

[nguyenhongsonk612]

 Cho a,b,c>0

       $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=3$

CMR: $\frac{27a^{2}}{c\left ( c^{2}+ \right9a^{2} )}+\frac{b^{2}}{a\left ( 4a^{2}+ \right b^{2} )}+\frac{8c^{2}}{b\left ( 9b^{2}+ \right 4c^{2} )}\geq \frac{3}{2}$

Ai biết thì cho mình biết với. Thanks trước nha

Ở đây cậu

[quangnghia]

Cho a,b,c>0

       $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$

Tìm MaxP=abc

Ta có $\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}$

Chứng minh tương tự ta có $\frac{1}{b+1}\geq 2\sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}$

$\frac{1}{c+1}\geq 2\sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}$

Nhân 3 bđt theo vế ta được $\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}\geq \frac{8abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

$\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

[hoctrocuanewton]

Cho x,y,z>0

       x+y+z=3

Tìm MinA= $\frac{x^{2}}{x+y^{2}}+\frac{y^{2}}{y+z^{2}}+\frac{z^{2}}{z+x^{2}}$

Áp dụng BĐT cô si ta có :

 

$\sum \frac{x^{2}}{x+y^{2}}= \sum (x-\frac{xy^{2}}{x+y^{2}})\geq \sum (x-\frac{\sqrt{x}y}{2})\geqslant \sum (x-\frac{(xy+y)}{4})= \frac{3}{4}\sum x-\frac{\sum xy}{4}\geq \frac{3}{4}\sum x-\frac{(\sum x)^{2}}{12}=\frac{3}{2}$

 

Vậy $MinA=\frac{3}{2}$

[Zurnie]

B13, Cho $\sum \frac{8-x^{4}}{16+x^{4}}$$\geq 0$

Tìm Max-MinA=xyz

B14, Cho a,b,c>0

                $\sum a^{2}=4\sqrt{abc}$

CMR : a+b+c$\geq \frac{9}{4}\sqrt{abc}$ 

Ai làm được thì giúp nhe

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zurnie: 28-08-2014 - 22:00

[nguyenhongsonk612]

B5,Cho a,b,c>0 và thỏa mãn  $a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}$

Tìm MinB=a+b+c

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$\frac{4}{3}=a+\frac{1}{2}\sqrt{a.4b}+\frac{1}{4}\sqrt[3]{a.4b.16c}\leq a+\frac{a+4b}{4}+\frac{a+4b+16c}{12}=\frac{4(a+b+c)}{3}$

$\Rightarrow B=a+b+c\geq 1$

Vậy $B$ min $=1$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=\frac{16}{21};b=\frac{4}{21};c=\frac{1}{21}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 01-09-2014 - 00:00