Chủ đề này có 3 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [1;2].Chứng minh rằng:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$ 

[nguyentrungphuc26041999]

Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [1;2].Chứng minh rằng:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$ 

bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$

không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$

$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$

$\frac{a}{c}+1\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$

cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$

cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm

[Dinh Xuan Hung]

bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$

không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$

$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$

$\frac{a}{c}+1\geq \frac {b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$

cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$

cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm

$2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$ bạn cm not di

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 29-08-2014 - 13:34

[Mikhail Leptchinski]

$2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$ bạn cm not di

 

bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$

không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$

$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$

$\frac{a}{c}+1\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$

cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$

cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm

Tiếp nhé

$\frac{a}{c}+1\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c},\frac{c}{a}+1\geq \frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

Do đó:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\leq \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2=>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leq 2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$

Đặt $x=\frac{a}{c},$

ta có $2\geq x\geq 1$ nên $(x-2)(x-1)\leq 0$ hay $x+\frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$ =>điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra $a=b=2,c=1 ;a=2,b=c=1$ hoặc các hoán vị