Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [1;2].Chứng minh rằng:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [1;2].Chứng minh rằng:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
#1
Đã gửi 28-08-2014 - 20:39
#2
Đã gửi 28-08-2014 - 21:23
Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [1;2].Chứng minh rằng:$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$
bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$
không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$
$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$
$\frac{a}{c}+1\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$
cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$
cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm
- huyentrang97, Trang Luong, Viet Hoang 99 và 4 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 29-08-2014 - 13:33
bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$
không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$
$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$
$\frac{a}{c}+1\geq \frac {b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$
cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$
cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm
$2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$ bạn cm not di
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 29-08-2014 - 13:34
- Bui Ba Anh yêu thích
#4
Đã gửi 29-08-2014 - 13:53
$2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$ bạn cm not di
bất đẳng thức tương đương với $\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{b}{a}\leq 7$
không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow \left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\geq 0$
$\Rightarrow ab+bc\geq b^{2}+ac$
$\frac{a}{c}+1\geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{a}+1\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}$
cộng 2 vế lại,bây giờ ta cần chứng minh $2\left ( \frac{c}{a}+\frac{a}{c} \right )+2\leq 7$
cái này thì đặt $frac{a}{c}=x$ rồi biến đổi tuơng đương kết hợp với dk là ta có đpcm
Tiếp nhé
$\frac{a}{c}+1\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c},\frac{c}{a}+1\geq \frac{c}{b}+\frac{b}{a}$
Do đó:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\leq \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+2=>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leq 2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})$
Đặt $x=\frac{a}{c},$
ta có $2\geq x\geq 1$ nên $(x-2)(x-1)\leq 0$ hay $x+\frac{1}{x}\leq \frac{5}{2}$ =>điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra $a=b=2,c=1 ;a=2,b=c=1$ hoặc các hoán vị
- chardhdmovies, Bui Ba Anh, VuDucTung và 2 người khác yêu thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéTại đây
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh