Chủ đề này có 3 trả lời

[200dong]

Cho $x,y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x + y + z = xyz$. CMR:

 

$(x^2 - 1)(y^2 -1)(z^2 -1) \leq \sqrt{(x^2 + 1)(y^2 +1)(z^2 +1)}$

 

Mong mn giải cách dễ hiểu, xúc tích giúp em. Em cảm ơn ạ! 

[chardhdmovies]

 

Lời giải

Ta có c=$\frac{a+b}{ab-1}> 0$ nên ab>1 tương tự ta có bc>1,ca>1

Nếu hai trong ba số a,b,c <1 $\Rightarrow$ số còn lại sẽ >1 do đó điều phải chứng minh luôn đúng

Nếu một trong hai số a,b,c <1 $\Rightarrow$ hai số còn lại sẽ <1 do đó điều phải chứng minh luôn đúng

Vậy ta sẽ chứng minh trong trường hợp a,b,c đều >1

Ta có giả thiết viết lại tương đương $\frac{1}{a}.\frac{1}{b}+\frac{1}{b}.\frac{1}{c}+\frac{1}{a}.\frac{1}{c}=1$

Do đó đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$ $\Rightarrow xy+yz+zx=1$

+)Lúc đó ta sẽ phair chứng minh $(1-x^{2})(1-y^{2})(1-z^{2})\leq xyz\sqrt{(x^{2}+1)(y^{2}+1)(z^{2}+1)}$

Ta có $x^{2}+1=x^{2}+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)$ thiểt lập tương tự ta sẽ chứng minh

 $(1-x^{2})(1-y^{2})(1-z^{2})\leq xyz(x+y)(x+z)(y+z)$

$\Leftrightarrow 2\leq 3xyz(x+y+z)+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

$\Leftrightarrow 2(xy+yz+zx)^{2}\leq 3xyz(x+y+z)+(x^{2}+y^{2}+z^{2})(xy+yz+zx)$ (do xy+yz+zx=1)

$\Leftrightarrow (xy+yz+zx)[(x-y)^{2}+(y-z^{2})+(z-x)^{2}]-[z^{2}(x-y)^{2}+y^{2}(x-z)^{2}+x^{2}(y-z)^{2}]\geq 0$

$\Leftrightarrow S_{x}(y-z)^{2}+S_{y}(x-z)^{2}+S_{z}(x-y)^{2}\geq 0$

Trong đó $\begin{cases} & \text{ } S_{z}=xy+yz+zx-z^{2} \\ & \text{ } S_{y}=xy+yz+zx-y^{2} \\ & \text{ } S_{x}=xy+yz+zx-x^{2} \end{cases}$

Không mất tính tổng quát giả sử $x\geq y\geq z$ ta thấy ngay $S_{y},S_{z}\geq 0$

Lại có $\frac{x-z}{y-z}\geq \frac{x}{y}$ và $S_{y}x^{2}+S_{x}y^{2}>0$ ( kái này dễ dàng chứng minh được)

Nên $S_{z}(x-y)^{2}+S_{y}(x-z)^{2}+S_{x}(y-z)^{2}\geq (y-z)^{2}[S_{y}(\frac{x-z}{y-z})^{2}+Sx]\geq (y-z)^{2}(\frac{x^{2}S_{y}+y^{2}S_{x}}{y^{2}})\geq 0$

Kết thúc chứng minh dấu '=' xẩy  ra khi a=b=c=$\sqrt{3}$

 

[200dong]

Bạn có tài liệu về bất đẳng thức mà bạn cho là hay nhất k? Cho mình xin link down về học với, cảm ơn.  

[chardhdmovies]

Bạn có tài liệu về bất đẳng thức mà bạn cho là hay nhất k? Cho mình xin link down về học với, cảm ơn.

nhiều quá nên mình chả biết cái nào hay nhất nữa