Chủ đề này có 5 trả lời

[Ispectorgadget]

Đề thi lớp KSTN và KSCLC ĐH Bách Khoa Hà Nội Năm 2014

Môn toán

Thời gian làm bài 120 phút

 

Câu I: (2đ) Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: $$m-\sqrt{9-x}-\sqrt{9+x}+\sqrt{81-x^2}=0.$$

 

Câu II (1,5đ) Tính đạo hàm cấp 2014 tại $x=0$ của hàm số $y=\sin x  \sin 2x \sin 3x$

 

Câu III (2đ) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ hình thang và $$SA=SB=SC=AD=2a, AB=BC=CD=a$$

a) Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S.ABCD$

 

b) Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $BC$ tại với đáy một góc $30^0$. Tính theo $a$ diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha).$

 

Câu IV (1,5đ) Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{2x^2+8x+15}$

 

Câu V (2đ). Chứng minh $$\int_{-2014\pi}^{2014 \pi} \frac{\sin^{2014}x}{1+2014^x}dx<1007 \pi.$$

 

Câu VI (1đ) Cho mảnh đất hình vuông kích thước $10m\times 10m$ và những viên gạch chữ T như hình bên dưới (gồm 4 ô vuông $1m\times 1m$) . Hỏi có thể lát kín mảnh đất bằng 25 viên gạch hay không? Vì sao?

 

--Hết--

Hình gửi kèm

• 

[hoctrocuaZel]

Câu I: (2đ) Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm: $$m-\sqrt{9-x}-\sqrt{9+x}+\sqrt{81-x^2}=0.$$

Đặt $\sqrt{9-x}=a;\sqrt{9+x}=b\rightarrow HPT: \left\{\begin{matrix} m=a+b-ab\\ a^2+b^2=18 \end{matrix}\right.$

Ta có: $m\geq a+b-\frac{1}{2}.(a^2+b^2)=a+b-9$

Mà: $(a+b)^2=9-x+9+x+2.\sqrt{81-x^2}\geq 18\rightarrow a+b\geq \sqrt{18}$

Do đó, $m\geq \sqrt{18}-9$

Mà kg có dấu bằng xảy ra nên $m> \sqrt{18}-9$

[Ispectorgadget]

 

 

Câu V (2đ). Chứng minh $$\int_{-2014\pi}^{2014 \pi} \frac{\sin^{2014}x}{1+2014^x}dx<1007 \pi.$$

 

 

Ta có bổ đề sau Nếu $f(x)$ là hàm chẵn, liên tục trên $[-a;a]$ thì $$I=\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{m^x+1}dx=\int_0^a f(x)dx$$

Ta dễ dàng chứng minh bằng cách đặt $x=-t$

Xét $f(x)=\sin^{2014}x $

Ta có $f(-x)=f(x)$ nên $f(x)$ là hàm chẵn và liên tục trên $[-2014\pi; 2014\pi]$ 

Sử dụng bổ đề ta có

$$\int_{-2014\pi}^{2014 \pi} \frac{\sin^{2014}x}{1+2014^x}dx=\int_0^{2014\pi} \sin^{2014}xdx$$

Mặt khác ta lại có $\sin^{2014}x< \sin^2x ;\forall x\in [-2014\pi; 2014\pi]$ 

Do đó 

$$\int_0^{2014\pi} \sin^{2014}xdx< \int_0^{2014\pi}\sin^2x dx=\int_0^{2014\pi} \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4} \right ]\bigg|_0^{2014\pi}=1007 \pi$$

Vậy bài toán được chứng minh.

[Ispectorgadget]

 

 

 

Câu VI (1đ) Cho mảnh đất hình vuông kích thước $10m\times 10m$ và những viên gạch chữ T như hình bên dưới (gồm 4 ô vuông $1m\times 1m$) . Hỏi có thể lát kín mảnh đất bằng 25 viên gạch hay không? Vì sao?

 

--Hết--

 

Xét bảng ô vuông $10\times 10$ 

Đánh dấu $1;-1$ xen kẽ ta có tổng giá trị tất cả $100$ ô này là $0$.

Xét viên gạch chữ $T$ ta có tổng giá trị được điền lên là $2$ hoặc $-2$ 

25 viên gạch chữ $T$ gồm 4 ô, nên tổng giá trị của chúng không thể bằng $0$

Do đó không thể lát kín mảnh đất bằng 25 viên gạch.

[Congiola]

Có đề Vật lý ko ạ?

[Ispectorgadget]

Có đề Vật lý ko ạ?