Chủ đề này có 1 trả lời

[fifa]

Cho đa thức $P(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+.....+a_nx^n$ với $a_n\neq 0$. Giả sử $x_0$ là 1 nghiệm của đa thức. Chứng minh:

$\left | x_0 \right |< 1+max\left | \frac{a_i}{a_n} \right |$   ($0\leq i\leq n-1$)

[davidsilva98]

Cho đa thức $P(x)=a_1x+a_2x^2+a_3x^3+.....+a_nx^n$ với $a_n\neq 0$. Giả sử $x_0$ là 1 nghiệm của đa thức.

Chứng minh:

$\left | x_0 \right |< 1+max\left | \frac{a_i}{a_n} \right |$   $\left ( 0\leq i\leq n-1 \right )$

 

Gọi $M=max\left | \frac{a_{i}}{a_{n}} \right |$

 

Ta cần chứng minh $\left | x_{0} \right |\leq 1+M$

 

Ta có:  $x_{0}$ là nghiệm của   $a_{n}x_{0}^{n}+a_{n-1}x_{0}^{n-1}+...+a_{1}x_{0}=0$

 

$\Leftrightarrow a_{n}x_{0}^{n}=-a_{n-1}x_{0}^{n-1}+...-a_{1}x$

 

$\Rightarrow \left | x_{0} \right |^{n}\leq \left | \frac{a_{n-1}}{a_{0}} \right |.\left | x_{0} \right |^{n-1}+...+\left | \frac{a_{1}}{a_{n}} \right |.\left | x_{0} \right |$

 

$\Rightarrow \left | x_{0} \right |^{n}\leq M.\left | x_{0} \right |.\frac{\left | x_{0} \right |^{n-1}-1}{\left | x_{0} \right |-1}$ 

 

Nếu $\left | x_{0} \right |\leq 1\Rightarrow \left | x_{0} \right |\leq 1+M$

 

Nếu $\left | x_{0} \right |> 1\Rightarrow \left | x_{0} \right |^{n}\leq \frac{M.\left | x_{0} \right |.\left | x_{0} \right |^{n-1} }{\left | x_{0} \right |-1}$

 

$\Rightarrow \left | x_{0} \right |\leq 1+M$

 

Vậy chứng minh được hoàn thành.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 29-08-2014 - 18:07