Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$
Giá trị lớn nhất của đa thức trên một khoảng
#1
Đã gửi 31-08-2014 - 15:06
- perfectstrong, hxthanh, chardhdmovies và 2 người khác yêu thích
Luận văn, tài liệu tham khảo toán học : http://diendantoanho...ảo/#entry499457
Sách, Luận Văn, Tài liệu tham khảo https://www.facebook...TailieuLuanvan/
#2
Đã gửi 25-07-2022 - 21:15
Bài PSW này lâu quá rồi nhỉ
Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$
Ta sẽ chứng minh rằng với mọi $\alpha \in [x_1,x_{n-1}]$ thì luôn tồn tại $\alpha^*\in (x_{n-1},x_n)$ sao cho $|P(\alpha)|<|P(\alpha^*)|$.
Với $\alpha\in \{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\}$ thì $|P(\alpha)|=0$ nên trường hợp này tầm thường. Ta xét $\alpha\in (x_k,x_{k+1})$ với $1\le k\le n-2$, chọn $\alpha^*=x_n-(\alpha-x_k)$.
Ta sẽ chứng tỏ
$$|P(\alpha)|<|P(\alpha^*)|\iff \left|\prod_{i=1}^n(\alpha-x_i)\right|< \left|\prod_{i=1}^n(\alpha^*-x_i)\right|.$$
$\bullet$ Với $1\le i\le k$, dễ thấy $0<\alpha-x_i<\alpha^*-x_i$. Với $i=k$ thì hiểu nhiên $|\alpha-x_k|=|\alpha^*-x_n|$.
$\bullet$ Với $1\le i\le n-k$, ta sẽ chứng minh $|\alpha-x_{k+i}|<|\alpha^*-x_{n-i}|$ như sau
$$\begin{align*}x_{k+i}-\alpha&=(x_{k+1}-\alpha)+(x_{k+2}-x_{k+1})+\dots+(x_{k+i}-x_{k+i-1})\\&<(\alpha^*-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\dots+(x_{n-i+1}-x_{n-i})\\&=\alpha^*-x_{n-i}. \end{align*}$$
Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn.
- perfectstrong, hxthanh và DOTOANNANG thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh