Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$
Giá trị lớn nhất của đa thức trên một khoảng
#1
Posted 31-08-2014 - 15:06
- perfectstrong, hxthanh, chardhdmovies and 2 others like this
Luận văn, tài liệu tham khảo toán học : http://diendantoanho...ảo/#entry499457
Sách, Luận Văn, Tài liệu tham khảo https://www.facebook...TailieuLuanvan/
#2
Posted 25-07-2022 - 21:15
Bài PSW này lâu quá rồi nhỉ
Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$
Ta sẽ chứng minh rằng với mọi $\alpha \in [x_1,x_{n-1}]$ thì luôn tồn tại $\alpha^*\in (x_{n-1},x_n)$ sao cho $|P(\alpha)|<|P(\alpha^*)|$.
Với $\alpha\in \{x_1,x_2,\dots,x_{n-1}\}$ thì $|P(\alpha)|=0$ nên trường hợp này tầm thường. Ta xét $\alpha\in (x_k,x_{k+1})$ với $1\le k\le n-2$, chọn $\alpha^*=x_n-(\alpha-x_k)$.
Ta sẽ chứng tỏ
$$|P(\alpha)|<|P(\alpha^*)|\iff \left|\prod_{i=1}^n(\alpha-x_i)\right|< \left|\prod_{i=1}^n(\alpha^*-x_i)\right|.$$
$\bullet$ Với $1\le i\le k$, dễ thấy $0<\alpha-x_i<\alpha^*-x_i$. Với $i=k$ thì hiểu nhiên $|\alpha-x_k|=|\alpha^*-x_n|$.
$\bullet$ Với $1\le i\le n-k$, ta sẽ chứng minh $|\alpha-x_{k+i}|<|\alpha^*-x_{n-i}|$ như sau
$$\begin{align*}x_{k+i}-\alpha&=(x_{k+1}-\alpha)+(x_{k+2}-x_{k+1})+\dots+(x_{k+i}-x_{k+i-1})\\&<(\alpha^*-x_{n-1})+(x_{n-1}-x_{n-2})+\dots+(x_{n-i+1}-x_{n-i})\\&=\alpha^*-x_{n-i}. \end{align*}$$
Vậy bài toán được giải quyết hoàn toàn.
- perfectstrong, hxthanh and DOTOANNANG like this
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users