Chủ đề này có 1 trả lời

[rikimaru]

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn $\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+2y} + \sqrt{1+2z} =5$. Chứng minh rằng $2x^3 + y^3 + z^3 \leq 64$

[Rias Gremory]

Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn $\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+2y} + \sqrt{1+2z} =5$. Chứng minh rằng $2x^3 + y^3 + z^3 \leq 64$

Ta thấy rằng:
Xét hàm: $$f(y)=y^3-32\sqrt{1+2y}+32$$ với $0 \leq y \leq 4$
Ta có: $$f'(y)=3y^2-\frac{32}{1+2y}$$
Và $$f''(y)=6y+\frac{32}{(1+2y)^{3/2}}>0$$
Suy ra $f(y) \leq \max \{ f(0);f(4)\}=0$
Suy ra $f(y) \leq 0$
Tương tự với $z$, ta được:
$$P \leq 2x^3+96-32\sqrt{x^2+1}$$
Ta có: $$\frac{dP}{dx}=6x^2-\frac{32}{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
$6x^2-\frac{32}{x}{\sqrt{x^2+1}}=0$ khi và chỉ khi $x=0$ hoặc $x= \pm \frac{1}{6} \sqrt{-18 \pm 6\sqrt{1033}}$
Từ đó, ta chứng minh được rằng: $P \max=64$