Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh : $(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

nâng cao

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
123456789987654321

123456789987654321

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

Bài 1 : 

 

a) Chứng minh : $(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

 

b) Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki : $(ac+bd)^{2}\leq (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$

 

Bài 2 :

 

a) Cho x+y=2. Tìm gtnn của biểu thức : $S=x^{2}+y^{2}$

 

b) Cho x,y,z dương thỏa mãn $x+y\leq z$ . Tìm gtnn của :

 

                                          $T=(x^{4}+y^{4}+z^{4})(\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}})$

 

Bài 3 : 

 

a) Cho $a\geq 0 ,b\geq 0$ . Chứng minh bất đẳng thức Cauchy :$\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

 

b) Cho $a,b,c > 0$ . Chứng minh rằng :$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq a+b+c$

 

c) Cho a,b>0 và 3a+5b=12 . Tìm gtln của biểu thức P=ab

 

d) Cho a+b=1 .Tìm gtnn của biểu thức $M=a^{3}+b^{3}$

 

Bài 4 : 

 

a) Tìm các số a,b,c,d biết rằng :$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=a(b+c+d)$

 

b) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=1$

 

Tìm gtnn của biểu thức :$P=\sqrt{2x^{2}+3xy+4y^{2}} +\sqrt{2y^{2}+3yz+4z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+3xz+4x^{2}}$

 

Bài 5 :

 

a) Cho biểu thức : $M=a^{2}+ab+b^{2}-3a-3b+2014$ . Với gt nào của a,b thì M đạt gtnn . Tìm gtnn đó ?

 

b) Chứng minh rằng không có gt x,y,z nào thỏa mãn đẳng thức sau :

 

                                          $x^{2}+4y^{2}+z^{2}-2x+8y-6z+15=0$

 

Bài 6 :

 

Cho $S=\frac{1}{\sqrt{1.1998}}+\frac{1}{\sqrt{2.1997}}+....+\frac{1}{k(1998-k+1)}+....+\frac{1}{\sqrt{1998.1}}$

 

                                   Hãy so sánh S và $2\frac{1998}{1999}$

 

Bài 7 : Cho các số x và y cùng dấu . Chứng minh rằng :

 

a) $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$

 

b) $(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})-(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 0$

 

c) $(\frac{x^{4}}{y^{4}}+\frac{y^{4}}{x^{4}})-(\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}})+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})\geq 2$

 

Bài 8 : Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 . Tìm gtln của biểu thức 

 

$S=\frac{1}{(a+1)^{2}+b^{2}+1}+\frac{1}{(b+1)^{2}+c^{2}+1}+\frac{1}{(c+1)^{2}+a^{2}+1}$

 

                         ( Tuyển sinh 10 chuyên Hùng Vương Phú Thọ năm học 2010-2011)

 

Bài 9 :

 

a) Chứng minh rằng :$\left | A+B \right |\leq \left | A \right |+\left | B \right |$ . Dấu ''='' xảy ra khi nào?

 

Bài 10 :  Cho các số dương a,b,c thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng

 

 

$\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}+\frac{bc}{b^{5}+c^{5}+bc}+\frac{ca}{a^{5}+c^{5}+ca}$$\leq 1$

 

Bài 1,2a,3,4a,5b,6,7a lm rồi nhé

 

 

 

 

 

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 02-09-2014 - 21:16


#2
firetiger05

firetiger05

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết

5a) Nhân 2 lên sau đó làm giống bài 5b

7.b) Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$

BĐT <=> $a^{2}-2-a=(a-2)(a+1)\geq 0$ ( Vì a $\geq$ 2)
c) T.Tự
8.http://diendantoanho...c21frac1c12a21/
9. a) bình phương 2 vế
b) Đâu rồi @@

10. BĐT phụ : $a^{5}+b^{5}\geq a^{2}b^{2}(a+b)=> a^{5}+b^{5}+ab \geq a^{2}b^{2}(a+b+c)=> \frac{ab}{a^{5}+b^{5}+ab}\leq \frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}$.

Thiết lập các BĐT t.tự sau đó cộng vế suy ra đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi firetiger05: 01-09-2014 - 14:11

:ukliam2: Học! :ukliam2: Học nữa! :ukliam2: Học mãi :off: :off:
:icon12: :ukliam2: Yêu Toán **==Nồng Cháy :ukliam2: :icon12:
:oto:  :oto: Quyết đậu chuyên Tin   Lam :icon12: Sơn    :oto:  :oto:


#3
Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết

Bài 4.b:

 

Ta đánh giá bằng AM-GM: thì

$2x^2+3xy+4y^2\geq 3\sqrt[3]{24.x^3.y^3}=\sqrt[3]{648}.xy$

Đánh giá Tương tự đối với 2 hạng tử còn lại.

Như vậy:Min P bằng

$P\geq \sqrt[6]{648}.(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz})=\sqrt[6]{648}$

 

Bài 5a:

Ta Phân tích M thành:

$M=(a+\frac{b-3}{2})^2+\frac{3}{4}(b-1)^2+2011$

Như vậy min M = 2011 <=> a = b = 1


Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#4
huy2403exo

huy2403exo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

2.b Áp dụng BĐT $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$ Dấu bằng khi $a=b=c$

$\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )\left ( \frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}} \right )\geq 9$

Dấu = xảy ra khi $x^4=y^4=z^4$ . Mà $x,y,z$ dương nên $x=y=z$

Mà sao lại có giả thiết $x+y\leq z$ nữa vậy nếu thế x=y=z=0 ( vô lí ) àk?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 01-09-2014 - 18:26

Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết

Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.

 

 

Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.

  •  

 


#5
Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 550 Bài viết

2.b Áp dụng BĐT $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$ Dấu bằng khi $a=b=c$

$\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )\left ( \frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}} \right )\geq 9$

Dấu = xảy ra khi $x^4=y^4=z^4$ . Mà $x,y,z$ dương nên $x=y=z$

Mà sao lại có giả thiết $x+y\leq z$ nữa vậy nếu thế x=y=z=0 ( vô lí ) àk?

Bạn lý luận gì vô lý thế.

Thế thành ra bạn đổi đề để làm à !!! :angry: :angry: :angry:

Đây là bài rất phức tạp. ko đơn giản như bạn nghĩ đâu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 01-09-2014 - 19:31

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#6
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

2.b Áp dụng BĐT $\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9$ Dấu bằng khi $a=b=c$

$\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )\left ( \frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}} \right )\geq 9$

Dấu = xảy ra khi $x^4=y^4=z^4$ . Mà $x,y,z$ dương nên $x=y=z$

Mà sao lại có giả thiết $x+y\leq z$ nữa vậy nếu thế x=y=z=0 ( vô lí ) àk?

k làm dc thì nói là k làm dc



#7
tranhai0247

tranhai0247

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết

câu 9 thì chỉ cần bình phương lên là ra thôi  :icon6:  >:)


May you live as long as you wish and love as long as you live.
Cầu mong bạn sẽ sống lâu chừng nào bạn muốn và yêu lâu chừng nào bạn sống.
 
___Robert A Heinlein___
 
 

#8
O0NgocDuy0O

O0NgocDuy0O

    Trung úy

  • Thành viên
  • 760 Bài viết

$7.b)$$LHS=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^{2}-2-(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)=\frac{(x^{2}+xy+y^{2})}{xy}.\frac{(x-y)^{2}}{xy}=\frac{(x^{2}+xy+y^{2}).(x-y)^{2}}{x^{2}y^{2}}\geq 0$. 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O)  ~O)  ~O)






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: nâng cao

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh