Chủ đề này có 206 trả lời

[Rias Gremory]

Làm nốt vế của bạn Huong TH

Bằng đổi biến $p,q,r$.
Ta có $p=2$. BĐT cần chứng minh là :
$$p^2-2q+2r \ge \dfrac{52}{27}$$
$$ \Leftrightarrow 4-2q+2r \ge \dfrac{52}{27}$$
Mà theo $Schur$ thì $r \ge \dfrac{4pq-p^3}{9} = \dfrac{8q-8}{9}$
Ta đưa về chứng minh BĐT mạnh hơn :
$$ 4-2q+2. \dfrac{8p-8}{9} \ge \dfrac{52}{27}$$
$$ \Leftrightarrow q \le \dfrac{4}{3}$$
Thì điều này hiển nhiên đúng do $ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{2}{3}$
BĐT được chứng minh. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BMT BinU: 06-09-2014 - 22:02

[Rias Gremory]

Câu 4 , a,b dễ k làm nữa nhé ... 

c ,  Đặt $MA=x$, $MB=y$. Ta có: $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=x^{2}+y^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2}-xy)$

 

Kẻ $BH\perp AM$, do $\widehat{BMH}=60^{\circ}$ nên: $MH=\frac{y}{2},BH^{2}=y^{2}-\left ( \frac{y}{2} \right )^{2}=\frac{3y^{2}}{4}$

 

Do đó: $AB^{2}=AH^{2}+BH^{2}=\left ( x-\frac{y}{2} \right )^{2}+\frac{3y^{2}}{4}=x^{2}+y^{2}-xy$

 

Do đó: $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=2AB^{2}=6R^{2}$ (đpcm)

[Rias Gremory]

Câu $2a$ ,

$C_1$ ... Ta có : $x-\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{x-\frac{1}{x}}\Rightarrow x^2+1-\frac{1}{x}-2x\sqrt{1-\frac{1}{x}}=x-\frac{1}{x}\Rightarrow x^2-x+1-2\sqrt{x^2-x}=0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x^2-x}-1 \right )^2=0\Rightarrow x^2-x-1=0$

$C_2$ ... Ta có $VP=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}=\sqrt{(x-\frac{1}{x}).1}+\sqrt{(x-1).\frac{1}{x}}\leq \frac{1}{2}.(x-\frac{1}{x}+1+x-1+\frac{1}{x})=x$

$\Rightarrow VP\leq VT$

$\Rightarrow PT\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x}=1 & & \\ x-1=\frac{1}{x} & & \end{matrix}\right.$

Giải ra kết hợp với $DK$ ta tìm được $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

[hoctrocuaZel]

Câu 1:

ĐPCM $\Leftrightarrow a+1=\sqrt{2a^4+2a+2}-\sqrt{2}.a^2 \Leftrightarrow (\sqrt{2}a^+2a+1)^2=2a^4+2a+2 \Leftrightarrow 2\sqrt{2}a^3+2.\sqrt{2}a^2+a^2-1=0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}(a+1)(4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2})=0$

Đúng theo gt

[Rias Gremory]

2. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=7\\ x^4+x^2y^2+y^4=21 \end{matrix}\right.$

Câu này chém luôn $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=7-xy \\ (x^2+y^2)^2-x^2y^2=21 \end{matrix}\right.\Rightarrow (7-xy)^2-x^2y^2=21\Leftrightarrow xy=2$

[Bonjour]

mình xin góp vui tí:

ĐỀ 3 :

Câu 1: 

a) Rút gọn biểu thức :

$A=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left [ \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right ).\frac{1}{x+y+2\sqrt{xy}} +\frac{2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}}.\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right )\right ]$ với $x=2-\sqrt{3}$ và $y=2+\sqrt{3}$

b) Phân tích thành nhân tử:

$B=(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(c+a)(a+b)(b-c)$

Câu 2: 

a) Tìm Min của biểu thức 

$M=2x^{2}+9y^{2}-6xy-6x-12y+2032000$

b)Tìm các số nguyên tố thỏa mãn:

$x^{2}+y^{3}=z^{4}$

Câu 3:

Giải phương trình sau : $(x+1)^{6}+(x+\sqrt{5})^{6}=18-8\sqrt{5}$

Câu 4 : 

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao $AA_{1},BB_{1},CC_{1}$ cắt nhau tại H .Các điểm $A_{2},B_{2},C_{2}$ lần lượt thay đổi sao cho $\widehat{A_{1}HA_{2}}=\widehat{B_{1}HB_{2}}=\widehat{C_{1}HC_{2}}$.CMR: tâm nội tiếp $\Delta A_{2}B_{2}C_{2}$ có tâm cố định

Câu 5:

Gọi A là tập hợp gồm 999 số tự nhiên phân biệt bất kì mỗi số không vượt quá k.Tìm giá trị lớn nhất của k sao cho trong A có ít nhất một số là bội của số khác

[hoctrocuaZel]

mình xin góp vui tí:

ĐỀ 3 :

Câu 1:

a) Rút gọn biểu thức :

$A=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{xy\sqrt{xy}}:\left [ \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right ).\frac{1}{x+y+2\sqrt{xy}} +\frac{2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{3}}.\left ( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right )\right ]$ với $x=2-\sqrt{3}$ và $y=2+\sqrt{3}$

b) Phân tích thành nhân tử:

$B=(a+b)(b+c)(c-a)+(b+c)(c+a)(a-b)+(c+a)(a+b)(b-c)$

 

a/ Rút gọn được: $A=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=-\sqrt{2}$

b/ $B=(a-b)(b-c)(a-c)$

p/s: Cám ơn bạn đã post đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Huong TH Phan: 07-09-2014 - 14:53

[hoctrocuaZel]

2/ a/ $M=(x-3y+2)^2+(x-5)^2+2031971\geq 2031971. "=": \left\{\begin{matrix} x=5\\ y=\frac{7}{3} \end{matrix}\right.$

[hoctrocuaZel]

Câu 3:

Giải phương trình sau : $(x+1)^{6}+(x+\sqrt{5})^{6}=18-8\sqrt{5}$

Đặt: $x+\frac{1+\sqrt{5}}{2}=a$

$PT\Leftrightarrow (a+\frac{1-\sqrt{5}}{2})^6+(a-\frac{1-\sqrt{5}}{2})^6=18-8\sqrt{5}\Leftrightarrow 2a^6+30a^4.(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2+30a^2.(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^4=0\Leftrightarrow a=0\Leftrightarrow x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Ai post đáp án mấy bài hình vs!

[Bonjour]

Mình không biết post hình nên các bạn tự vẽ nha!

Lời giải: Ta có: $\Delta HA_{1}A_{2}\sim \Delta HB_{1}B_{2}\sim \Delta HC_{1}C_{2}\Rightarrow \frac{HA_{1}}{HB_{1}}=\frac{HA_{2}}{HB_{2}}$

Mặt khác: $\widehat{A_{2}HB_{2}}=\widehat{A_{1}HB_{1}}$ nên $\Delta A_{1}HB_{1}\sim \Delta A_{2}HB_{2}\Rightarrow \widehat{HA_{1}B_{1}}=\widehat{HA_{2}B_{2}}$

Tương tự: $\widehat{HA_{1}C_{1}}=\widehat{HA_{2}C_{2}}$ .Suy ra $HA_{2}$ là phân giác $\widehat{B_{2}A_{2}C_{2}}$

tương tự : $HB_{2}$ là phân giác $\widehat{A_{2}B_{2}C_{2}}$ .Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta A_{2}B_{2}C_{2 }$ .$H$ cố định

[Bonjour]

Cách khác : Viết lại $\frac{(-x-1)^{6}+(x+\sqrt{5})^{6}}{2}=9-4\sqrt{5}$

Áp dụng BĐT : $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq \(\frac{a+b}{2})^{n}$ với $a+b> 0$

rồi để ý : $(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{6}=\left [ (\frac{\sqrt{5}-1}{2})^{3} \right ]^{2}=(2-\sqrt{5})^{2}=9-4\sqrt{5}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $-1-x=x+\sqrt{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 07-09-2014 - 10:08

[Bonjour]

a/ Rút gọn được: $A=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}=\frac{1}{\sqrt{y}}-\frac{1}{\sqrt{x}}=-\sqrt{2}$

b/ $B=2(a-b)(b-c)(a-c)$

p/s: Cám ơn bạn đã post đề.

câu 1 B sao lại có 2 trong đó ,bạn xem kỹ lại đi

[chieckhantiennu]

Câu 3b. 

Ta có:

$\sqrt{\frac{a^3}{a^3+(b+c)^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{b+c}{a})^3}}\geq \frac{1}{1+\frac{(b+c)^2}{2a^2}}\geq \frac{2a^2}{2a^2+2(b^2+c^2)}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}$

TT ta dc 2 BDT. Cộng vế vế ta dc dpcm.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 07-09-2014 - 14:59

[chieckhantiennu]

Thật chẳng hiểu cái đề câu 5 hình nó vẽ như thế nào. Thành thử không làm nổi nguyên cái bài hình.

Đăng tiếp được chứ chủ pic??

Đề Kiểm tra ĐT đợt 3 của trường chuyên Trần Đại Nghĩa.

Câu 2: a)Giải phương trình : $\frac{1}{(x-1)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}$

b)Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $:A=2.(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015})$ chia hết cho n(n+1)
Câu 3: a)Tìm các số nguyên dương n sao cho $P=\frac{n(n+1)}{2} -1$ là số nguyên tố 
b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
Câu 4:a) Cho tam giác ABC có I là giao điểm các đường phân giác trong.Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của I trên AB,AC,BC và H là hình chiều của F trên DE. Chứng minh rằng $AD=\frac{(AB+AC-BC)}{2}$ và HF là tia phân giác của góc BHC
b)Cho tam giác ABC cân tại A có góc $\widehat{A}=20^o$  ,BC=a,AB=b.Chứng minh rằng $a^3+b^3=3ab^2$
Câu 5:a) Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $S_n=a^n+b^n+c^n$ với n thuộc N* ,biết $S \leq 5; S_2\leq 11$.

Chứng minh $S_n=3^n+2$

b) Tìm các số x,y thỏa mãn $\frac{x^2}{y}+x=2$ và $\frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2}$ .

________

Đề mới đọc ko có đáp án nên cho làm chung với nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 07-09-2014 - 14:47

[hoctrocuaZel]

 

Câu 2: b)Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $:A=2.(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015})$ chia hết cho n(n+1)

 

2.b/ (Câu 1 ở đâu mà bắt đầu câu 2 )

Ta có: $A=1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015} A=n^{2015}+(n-1)^2015.....+1^{2015}$

Cộng vế theo vế, áp dụng: $a^n+b^n\vdots a+b$ ( n lẽ). Do đó: $2A\vdots (n+1)$

Tương tự cho n. Mà $(n,n+1)=1$. Suy ra đpcm

[hoctrocuaZel]

5.b/ 

Ta có: $(\frac{x^2}{y}+x)(\frac{y^2}{x}+y)=1\Leftrightarrow xy\begin{bmatrix} (x+y)^2-1 \end{bmatrix}=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+y=1\\ x+y=-1 \end{bmatrix}$

TH1: $x+y=1$

Thế vào PT (1), được: $\left\{\begin{matrix} x=\frac{2}{3}\\ y=\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$

Th2: Tương tự.

[hoctrocuaZel]

3.a/ $p=\frac{(n-1)(n+2)}{2}$

p nguyên tố khi có ước là 1, chính nó.

Do đó, nếu n-1 và n+2 đều lớn hơn 2, thì khi chia sẽ thừa ra ước.

Suy ra: $\begin{bmatrix} n-1=2\\ n+2=2 \end{bmatrix}\Rightarrow n=3; p=5$

[chieckhantiennu]

 

b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
 

 

Do $a,b,c$ nguyên nên 1 3 số luôn nhận các giá trị 1 hoặc -1 Do $abc=1$ nên trong 1 trong 3 số phải có 2 số cùng âm hoặc cả 3 số cùng dương.

xét:

TH1: 2 số cùng âm. Giả sử $a=b=-1;c=1$ ( do a,b,c có vai trò như nhau nên có thể tuỳ chọn biến). Thay vào ta tính dc: $Q=\frac{1}{2}$

TH2: 3 số cùng dương, a=b=c=1. Thay vào ta cũng tìm được $Q=\frac{1}{2}$

__________

Hoặc có thể do ở mẫu của các phân thức giá trị của a,b,c luôn dương nên có thể tìm luôn được $Q=\frac{1}{2}$ thay vì xét TH. Câu này nên đổi thành tính GT biểu thức luôn nhỉ.  

[Bonjour]

Thật chẳng hiểu cái đề câu 5 hình nó vẽ như thế nào. Thành thử không làm nổi nguyên cái bài hình.

Đăng tiếp được chứ chủ pic??

Đề Kiểm tra ĐT đợt 3 của trường chuyên Trần Đại Nghĩa.

Câu 2: a)Giải phương trình : $\frac{1}{(x-1)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}$

b)Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì $:A=2.(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015})$ chia hết cho n(n+1)
Câu 3: a)Tìm các số nguyên dương n sao cho $P=\frac{n(n+1)}{2} -1$ là số nguyên tố 
b)Cho ba số nguyên a,b,c thỏa mãn abc=1.

Tìm GTLN của $Q=\frac{1}{a^2+2b^2+3} +\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}$
Câu 4:a) Cho tam giác ABC có I là giao điểm các đường phân giác trong.Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của I trên AB,AC,BC và H là hình chiều của F trên DE. Chứng minh rằng $AD=\frac{(AB+AC-BC)}{2}$ và HF là tia phân giác của góc BHC
b)Cho tam giác ABC cân tại A có góc $\widehat{A}=20^o$  ,BC=a,AB=b.Chứng minh rằng $a^3+b^3=3ab^2$
Câu 5:a) Cho $1\leq a,b,c\leq 3$ và $S_n=a^n+b^n+c^n$ với n thuộc N* ,biết $S \leq 5; S_2\leq 11$.

Chứng minh $S_n=3^n+2$

b) Tìm các số x,y thỏa mãn $\frac{x^2}{y}+x=2$ và $\frac{y^2}{x}+y=\frac{1}{2}$ .

________

Đề mới đọc ko có đáp án nên cho làm chung với nhé!

 

Câu 4

ý 1) dễ

ý 2) TH1: $\Delta ABC$ cân ,hiển nhiên đpcm là đúng

 TH2: Không mất tính tổng quát ,giả sử $AB< CA$

Gọi N và K là hình chiếu của B,C lên ED

Vì $\Delta AED$ cân tại A nên $\widehat{BDI}=\widehat{CEN}\Rightarrow \Delta BDI\sim \Delta CEN$

c/m đc : $\frac{BI}{CN}=\frac{BD}{CE}=\frac{FB}{CF}=\frac{HI}{NH}$ rồi suy ra $\Delta BHF\sim \Delta CHF$ SUy ra HF là phân giác $\widehat{BHC}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bonjour: 07-09-2014 - 18:21

[hoctrocuaZel]

Câu 2: a)Giải phương trình : $\frac{1}{(x-1)^2}+\sqrt{3x+1}=\frac{1}{x^2}+\sqrt{x+2}$

PT $\Leftrightarrow \frac{1}{(x-1)^2}-\frac{1}{x^2}+\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+2}=0\Leftrightarrow (2x-1)\begin{bmatrix} \frac{(1}{(x^2-x)^2}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x+2}} \end{bmatrix}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$