Chào mừng ngày quốc khánh 02-09-2014, sieusieu90 và Viet Hoang 99 thực hiện TOPIC này nhằm giới thiệu với các bạn chưa biết về Véc-tơ cũng như luyện tập cho các bạn đang học lớp 10.
Hãy ấn "Theo dõi chủ đề" ở góc trên bên phải màn hình của TOPIC để có những thông tin cập nhật thường xuyên về TOPIC
Trong chương trình hình học phẳng . véc-tơ là khái niệm quan trọng, ưu điểm của nó là không cần thiết phải sử dụng nhiều đến hình vẽ .Chuyên đề này sẽ giới thiệu những khái niệm , tính chất cùng với đó là một số bài tập và ứng dụng của véc-tơ vào việc giải toán.
Mục lục:
Bài tập về vecto
Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto (#2 trang 1) - trang đang xem
Dạng 2: Biểu diễn vecto (#29 trang 2) - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-2
Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto (#40 trang 2) - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-2
Dạng 4: Quỹ tích điểm (#56 trang 3) - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-3
Bài tập về tích vô hướng
#66 trang 4 - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-4
P/s: Để hoàn thiện cái TOPIC cần tốn một thời gian dài trong khi chủ TOPIC rất bận, mong các bạn nhanh chóng giải bài hoặc hẹn một kì nghỉ dài nào đó chủ TOPIC sẽ hoàn thiện.
1. Các kiến thức cần nhớ
1.1 Định nghĩa về véc-tơ, phương , hướng của véc-tơ và hai véc-tơ bằng nhau
i) Ta định nghĩa véc-tơ là đoạn thẳng có hướng. Ví dụ véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$ , có giá là đường thẳng đi qua $A,B$ và độ dài của nó là độ dài đoạn thẳng $AB$ , kí hiệu $\left | \overrightarrow{AB} \right |$.Ngoài ra véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc-tơ không $(\overrightarrow{0}) $
ii) Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai véc -tơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
iii) Hai véc-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left | \overrightarrow{AB} \right |=\left | \overrightarrow{CD} \right | \\\overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow\overrightarrow{CD} \end{matrix}\right.$$
Chú ý: a. $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}.$
b. Hai điểm $B$ và $B'$ trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB'}.$
c. Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương thì $x.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $x=y=0$
1.2. Định nghĩa về các phép toán trên véc-tơ
i) Phép cộng véc-tơ : Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}$ . Khi đó véc-tơ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là tổng của hai véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$
ii) Phép trừ véc-tơ : Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Khi đó véc-tơ $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$ được gọi là véc-tơ hiệu của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$ Ví dụ : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$
iii) Pháp nhân véc-tơ $\overrightarrow{a}$ cho một số thực $k$, kí hiệu $k.\overrightarrow{a}$, là một véc-tơ có hướng cùng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k>0$ và ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k<0$ với độ dài $\left | k.\overrightarrow{a} \right |=\left | k \right |.\left | \overrightarrow{a} \right |$
Chú ý : Quy tắc $n$ điểm : Cho $n$ điểm $A_i,i=\overline{1,n}$ khi đó ta có : $$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+...+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$$
1.3. Phép chiếu véc-tơ
i) Định nghĩa :Cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $l$ không song song với $\Delta$ và $\overrightarrow{AB}$ là véc-tơ bất kỳ. Qua $A,B$ kẻ các đường thẳng song song với $l$ , chúng cắt $\Delta$ theo thứ tự tại $A',B'$ . Véc- tơ $\overrightarrow{A'B'}$ được gọi là hình chiếu của véc-tơ $\overrightarrow{A'B'}$ qua phép chiếu phương $l$ (phương chiếu ) lên đường thẳng $\Delta$ ( đường thẳng chiếu). Hiển nhiên nếu hai véc-tơ bằng nhau thì hình chiếu của chúng cũng bằng nhau.
ii) Tính chất :
Nếu kí hiệu phép chiếu đi từ phương $l$ xuống $\Delta$ là $Ch_l(\Delta )$, ta có :
a.$Ch_l(\Delta )(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//\Delta$
b.$Ch_l(\Delta )(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//l$
1.4. Hai định lý về sự biểu thị véc-tơ
Định lý 1: Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}$, véc-tơ $\overrightarrow{b}$ tùy ý . Khi đó ta có :
$$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{R}: \overrightarrow{b}=k.\overrightarrow{a}$$
Định lý 2: Cho hai véc-tơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và véc-tơ $\overrightarrow{c}$ bất kì. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số thực $(m,n)$ sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.$
1.5. Tích vô hướng của hai véc-tơ
i) Định nghĩa : Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ , ký hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, xác định bởi công thức :
$$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.cos\left (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )$$
Hệ quả : $$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$$
ii) Mở rộng :
a. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\left [ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2 \right ]=\frac{1}{4}\left ( \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |^2-\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |^2 \right )$
b. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\left ( MA^2+MB^2-AB^2 \right )$
c. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C_1D_1}$ ( với $C_1,D_1$ là hình chiếu của $C,D$ trên $AB.$)
iii) Ngoài ra, còn có khái niệm tích ngoài của hai véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$, xác định như sau :
$$\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=\left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.\sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$$
Hệ quả : $$\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$$
1.6. Một số hệ thức quen thuộc véc-tơ quen thuộc
1.6.1. Công thức điểm chia: $$\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}}{1-k}$$
Hệ quả : Nếu điểm $M$ nằm giữa $A,B$ ta có $k=\dfrac{-MA}{MB}$ , khi đó $$\overrightarrow{OM}=\dfrac{MB}{AB}.\overrightarrow{OA}+\dfrac{MA}{AB}\overrightarrow{OB}$$, đặc biệt khi $M$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}. (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
1.6.2. Hệ thức $Jacobi$
Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ , đặt $S_a=S_{MBC},S_b=S_{MCA},S_c=S_{MAB}$ , khi đó ta có :
i) Nếu $M$ nằm trong tam giác thì
$$S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$
ii) Nếu $M$ nằm ngoài tam giác,chẳng hạn $M$ thuộc góc $\widehat{BAC}$ và góc đối định của nó thì
$$S_a.\overrightarrow{MA}-S_b.\overrightarrow{MB}-S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$
Tương tự khi $M$ thuộc các góc $\widehat{ACB},\widehat{ABC}.$
1.6.3. Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , $H$ là trực tâm , $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp , $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, ta có các hệ thức sau
I) $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$
II) $$\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$$
với $M$ là điểm tùy ý
III) $$\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$
IV) $$a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$
$$a.\overrightarrow{ID}+b.\overrightarrow{IE}+c.\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{0}$$
với $D,E,F$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh $BC,CA,AB$
V) $$tan\widehat{A}.\overrightarrow{HA}+tan\widehat{B}.\overrightarrow{HB}+tan\widehat{C}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$$
VI) $$\sin\widehat{2A}.\overrightarrow{OA}+\sin\widehat{2B}.\overrightarrow{OB}+\sin\widehat{2C}.\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$
Ngoài ta khi tam giác $ABC$ đều , tâm $O$, $M$ là điểm bất kỳ trong tam giác , $D,E,F$ là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$. khi đó:
$$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$$
1.7. Các định lí về véc-tơ
1.7.1) Định lí con nhím :
Cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$ và các véc-tơ đơn vị $\overrightarrow{e_i}(1\leq i \leq n)$ theo thứ tự vuông góc với $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ (xem $A_{n+1}=A_1$), hướng ra phía ngoài đa giác . Khi đó ta có :
$$A_1A_2\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_nA_1\overrightarrow{e_n}=\overrightarrow{0}$$
Có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh định lý , phần chứng minh dành cho bạn đọc.
1.7.2) Tâm tỉ cự của một hệ điểm và mở rộng
a) Khái niệm : Cho hệ điểm $A_1,A_2,...,A_n$ và các số thực $m_1,m_2,...,m_n$ sao cho $m_1+m_2+...+m_n\neq 0$ , $I$ được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $\begin{Bmatrix} A_1,A_2,...,A_n \end{Bmatrix}$ với các hệ số tương ứng $\begin{Bmatrix} m_1,m_2,...,m_n \end{Bmatrix}$ khi và chỉ khi:
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-11-2014 - 13:48