Chủ đề này có 121 trả lời

[Viet Hoang 99]

 

5. Các bài tập về tích vô hướng

 

$49)$ Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :

a. $GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$

b. Với mọi điểm $M$ thì $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$

$50)$ Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp,$G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :

a. $OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$

b. $OG^2=\dfrac{1}{3}(OA^2+OB^2+OC^2)-\dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

 

49)

a)

$$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$$

$$\Leftrightarrow GA^2+GB^2+GC^2+2\sum \overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=0$$

$$\Leftrightarrow 3\sum GA^2=\sum \left ( \overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB} \right )^2=\sum AB^2$$

$$\Rightarrow \sum GA^2=\frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$$

b)

$\sum MA^2=\sum \left ( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right )^2=3MG^2+\sum GA^2+2\sum \overrightarrow{MG}\left ( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right )=3MG^2+\sum GA^2$

50)

a) http://diendantoanho...2-9r2-a2-b2-c2/

b)

$\sum \overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{OG}$

$\Leftrightarrow \sum OA^2+2\sum \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=9OG^2$

$\Leftrightarrow \sum OA^2+\sum \left (OA^2+OB^2-c^2  \right )=9OG^2$ (Áp dụng định lý côsin)

$\Rightarrow OG^2=\frac{1}{3}(OA^2+OB^2+OC^2)-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$ (đpcm)
Hay $OG^2-R^2=-\frac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$ (phương tích của trọng tâm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-11-2014 - 13:33

[Longtunhientoan2k]

 Mình cũng có một bài tập muốn đóng góp như sau:

  Cho 5 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng.Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác được tạo bởi ba điểm đó và trung điểm của đoạn thẳng chứa hai điểm còn lại luôn đi qua một điểm cố định.

[locnguyen2207]

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là 1 điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC,AC,AB. CMR:

$\underset{MD}{\rightarrow} + \underset{ME}{\rightarrow} + \underset{MF}{\rightarrow} = \frac{3}{2}.\underset{MO}{\rightarrow}$

[Longtunhientoan2k]

 Thế còn bài này cac bn xem làm đc không nhé:

  Cho tam giác ABC có AH,BE,CF lần lượt là các đường cao xuống BC,AC,AB.

 Chứng minh rằng:Nếu $\underset{AH}{\rightarrow}+\underset{BE}{\rightarrow}+\underset{CF}{\rightarrow}=0$ thì tam giác ABC đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Longtunhientoan2k: 13-09-2015 - 22:20

[locnguyen2207]

 

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là 1 điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D,E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC,AC,AB. CMR:

$\underset{MD}{\rightarrow} + \underset{ME}{\rightarrow} + \underset{MF}{\rightarrow} = \frac{3}{2}.\underset{MO}{\rightarrow}$

Qua M, vẽ các đường thẳng lần lượt song song với AB,BC,CA .Đường thẳng song song với AB cắt AC,BC tại L,H;đường thẳng song song với BC cắt AB,AC tại K,N;đường thẳng song song với AC cắt AB,BC tại J,G.
Dễ dàng có ALMJ,MKBH,MNCG là các hình bình hành
Có các tam giác sau là tam giác đều :MKJ,MLN,MHG=>F,E,D lần lượt là trung điểm KJ,LN,HG
=>$2 \vec{MF} = \vec{MJ} + \vec{MK} $
$2 \vec{MD} = \vec{MH} + \vec{MG}$
$2 \vec{ME} = \vec{MN} + \vec{ML} $
=>$2( \vec{ME} + \vec{MF} + \vec{MD} =( \vec{MJ} + \vec{ML} )+( \vec{MK} + \vec{MH})+( \vec{MG} + \vec{MN} )$
$= \vec{MA}+ \vec{MB}+ \vec{MC} $( do ALMJ,MKBH,MNCG là các hình bình hành )
$=3 \vec{MO} $(Do tam giác ABC đều =>$G \equiv O=>\vec{MA}+ \vec{MB}+ \vec{MC}=3 \vec{MG}=3 \vec{MO} $ )(đpcm)

[an1907]

Cho $n$ vectơ $\vec{a_{i}}$ , $i = \bar{1 , n}$ có độ dài không vượt quá $1$ . CMR : Trong tổng $\vec{c} = \vec{a_{1}} \pm \vec{a_{2}} \pm ... \pm \vec{a_{n}}$ có thể chọn các dấu sao cho $\left | \vec{c} \right | \leq \sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1907: 15-09-2015 - 12:58

[ngutoanso1]

cho tam giác ABC trọng tâm G. đường thẳng d không đi qua G cắt GA, GB, GC lần lượt tại A',B',C'. chứng minh $\frac{\underset{GA}{\rightarrow}}{\underset{GA'}{\rightarrow}}+\frac{\underset{GB}{\rightarrow}}{\underset{GB'}{\rightarrow}}+\frac{\underset{GC}{\rightarrow}}{\underset{GC'}{\rightarrow}}=\underset{0}{\rightarrow}$

                      

[Longtunhientoan2k]

 Bạn ơi ko có phép chia véc tơ đâu

[ngutoanso1]

 Bạn ơi ko có phép chia véc tơ đâu

mình không biết nữa, thầy mình nói không có phép chia vectơ nhưng vẫn ra bài này

[ngutoanso1]

mọi người có thể giúp mình chứng minh công thức ơle $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ bằng phương pháp vectơ được không

[ngutoanso1]

Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c. A', B', C' tương ứng là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh BC, CA, AB

Chứng minh: $a^{2}\underset{GA'}{\rightarrow}+b^{2}\underset{GB'}{\rightarrow}+c^{2}\underset{GC'}{\rightarrow}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngutoanso1: 01-10-2015 - 21:25

[santo3vong]

ai ơi giải giùm mình bài này đi ạ http://diendantoanho...ới-af/?p=609587

[RealCielo]

Cho tam giác đều ABC cạnh a và hai điểm M,N sao cho $\underset{AM}{\rightarrow}=\frac{1}{3}\underset{AB}{\rightarrow}$ và $\underset{AN}{\rightarrow}=k\underset{AC}{\rightarrow}$.Tìm k sao cho ($(\underset{BN}{\rightarrow},\underset{CM}{\rightarrow})=120$

[linhphammai]

Mọi người giải giúp mình bài này nhé. Cảm ơn

Bài toán: Cho tam giác ABC có BC cố định, A thay đổi. Gọi H là trực tâm tam giác và I là trung điểm BC. Biết IA + IH = BC. Chứng minh A chạy trên một đường cố định

[linhphammai]

mọi người có thể giúp mình chứng minh công thức ơle $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ bằng phương pháp vectơ được không

Có thể, nhưng phải dùng đến điểm Giác- gôn. Mình biết mỗi cách đấy, nhưng lằng nhằng khó nhớ lắm, mình nhớ không nổi 

[linhphammai]

Cho tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c. A', B', C' tương ứng là hình chiếu của trọng tâm G lên các cạnh BC, CA, AB

Chứng minh: $a^{2}\underset{GA'}{\rightarrow}+b^{2}\underset{GB'}{\rightarrow}+c^{2}\underset{GC'}{\rightarrow}$

Bài này có rất nhiều cách giải. Bạn có thể xem trong quyển Bài tập nâng cao và một số chuyên đề của Nguyễn Minh Hà

Cách khác là bạn đem bình phương hệ thức cần chứng minh

Sau đó biến đổi đưa hết về diện tích tam giác ABC

Các thừa số, số hạng trong biểu thức sẽ triệt tiêu hết cho nhau đấy

Nếu soạn trên trình soạn thảo Latex thì khá cồng kềnh nên mình không tiện viết ra

Bạn cứ suy nghĩ theo hướng đó nha

[linhphammai]

Mọi người giải giúp mình bài này nhé. Cảm ơn

Bài toán: Cho tam giác ABC có BC cố định, A thay đổi. Gọi H là trực tâm tam giác và I là trung điểm BC. Biết IA + IH = BC. Chứng minh A chạy trên một đường cố định

Bài này thế này

$IA + IB \geq2.\sqrt{IA.BI}\geq 2.\sqrt{\vec{IA}.\vec{IB}}$

Ta có $\vec{IA}.\vec{IB}=\vec{AI}.\vec{HI} = \frac{1}{4}.(\vec{AB}+\vec{AC}).(\vec{HB}+\vec{HC}) = \frac{1}{4}.(\vec{AB}.\vec{HB}+\vec{AC}.\vec{HC}) = \frac{1}{4}.((\vec{AC}+\vec{CB}).\vec{HB} + (\vec{AB}+\vec{BC})\vec{HC}) = \frac{1}{4} BC^{2}$

Thay vào là ok

[The flower]

Cho tam giác ABC.M,N là 2 điểm thay đổi trên mp sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}$.Ch/m:MN luôn song song với một đường thẳng cố định    

[ngobaochau1704]

véc tơ hay

Hình gửi kèm

• 

[ledacthuong2210]

Sai ở đâu

 

 

5. Cho hình vuông ABCD,trên DC lấy điểm E, kẻ EF vuông góc với BC(F thuộc BC). M, N lần lượt là trung điểm của AE và DC. Chứng minh rằng:MN vuông góc với DF

giải:

ta có $\underset{NM}{\rightarrow}=\frac{1}{2}(\underset{CA}{\rightarrow}+\underset{DE}{\rightarrow})$

         $\underset{DF}{\rightarrow} =\underset{DE}{\rightarrow}+\underset{EF}{\rightarrow}$

nhân lại sao không được vậy mọi người

File gửi kèm

•  Doc4.doc   24K   117 Số lần tải