Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 15 Bình chọn

$\boxed{TOPIC}$ Véc-tơ và ứng dụng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 120 trả lời

#1 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-09-2014 - 20:43

*
Phổ biến

Chào mừng ngày quốc khánh 02-09-2014, sieusieu90Viet Hoang 99 thực hiện TOPIC này nhằm giới thiệu với các bạn chưa biết về Véc-tơ cũng như luyện tập cho các bạn đang học lớp 10.

Hãy ấn "Theo dõi chủ đề" ở góc trên bên phải màn hình của TOPIC để có những thông tin cập nhật thường xuyên về TOPIC

Trong chương trình hình học phẳng . véc-tơ là khái niệm quan trọng, ưu điểm của nó là không cần thiết phải sử dụng nhiều đến hình vẽ .Chuyên đề này sẽ giới thiệu những khái niệm , tính chất cùng với đó là một số bài tập và ứng dụng của véc-tơ vào việc giải toán. 

 

Mục lục:

Bài tập về vecto

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức vecto (#2 trang 1) - trang đang xem

Dạng 2: Biểu diễn vecto (#29 trang 2) - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-2

Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto (#40 trang 2) - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-2

Dạng 4: Quỹ tích điểm (#56 trang 3) - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-3

Bài tập về tích vô hướng

#66 trang 4 - http://diendantoanho...ứng-dụng/page-4

 

P/s: Để hoàn thiện cái TOPIC cần tốn một thời gian dài trong khi chủ TOPIC rất bận, mong các bạn nhanh chóng giải bài hoặc hẹn một kì nghỉ dài nào đó chủ TOPIC sẽ hoàn thiện.

 

1. Các kiến thức cần nhớ

1.1 Định nghĩa về véc-tơ, phương , hướng của véc-tơ và hai véc-tơ bằng nhau  

i) Ta định nghĩa véc-tơ là đoạn thẳng có hướng. Ví dụ véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu là $A$, điểm cuối là $B$ , có giá là đường thẳng đi qua $A,B$ và độ dài của nó là độ dài đoạn thẳng $AB$ , kí hiệu $\left | \overrightarrow{AB} \right |$.Ngoài ra véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc-tơ không $(\overrightarrow{0}) $

ii) Hai véc-tơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai véc -tơ cùng phương thì có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 

iii) Hai véc-tơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu $$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\left | \overrightarrow{AB} \right |=\left | \overrightarrow{CD} \right | \\\overrightarrow{AB} \uparrow\uparrow\overrightarrow{CD} \end{matrix}\right.$$

Chú ý: a. $A,B,C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{AC}.$ 

            b. Hai điểm $B$ và $B'$ trùng nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB'}.$
            c.  Nếu $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương thì $x.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$ khi và chỉ khi $x=y=0$

1.2. Định nghĩa về các phép toán trên véc-tơ

i) Phép cộng véc-tơ : Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}$ . Khi đó véc-tơ $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là tổng của hai véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$

ii)​ Phép trừ véc-tơ : Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Khi đó véc-tơ $\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$ được gọi là véc-tơ hiệu của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}.$ Ví dụ : $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$

iii) Pháp nhân véc-tơ $\overrightarrow{a}$ cho một số thực $k$, kí hiệu $k.\overrightarrow{a}$, là một véc-tơ có hướng cùng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k>0$ và ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu $k<0$ với độ dài   $\left | k.\overrightarrow{a} \right |=\left | k \right |.\left | \overrightarrow{a} \right |$

Chú ý : Quy tắc $n$ điểm : Cho $n$ điểm $A_i,i=\overline{1,n}$ khi đó ta có : $$\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2A_3}+...+\overrightarrow{A_{n-1}A_n}=\overrightarrow{A_1A_n}$$

1.3. Phép chiếu véc-tơ

i) Định nghĩa :Cho đường thẳng $\Delta$ và đường thẳng $l$ không song song với  $\Delta$ và $\overrightarrow{AB}$ là véc-tơ bất kỳ. Qua $A,B$ kẻ các đường thẳng song song với $l$ , chúng cắt $\Delta$ theo thứ tự tại $A',B'$ . Véc- tơ $\overrightarrow{A'B'}$ được gọi là hình chiếu của véc-tơ $\overrightarrow{A'B'}$ qua phép chiếu phương $l$ (phương chiếu ) lên đường thẳng $\Delta$ ( đường thẳng chiếu). Hiển nhiên nếu hai véc-tơ bằng nhau thì hình chiếu của chúng cũng bằng nhau.

ii) Tính chất : 

Nếu kí hiệu phép chiếu đi từ phương $l$ xuống $\Delta$ là $Ch_l(\Delta )$, ta có :

a.$Ch_l(\Delta )(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{a}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//\Delta$

b.$Ch_l(\Delta )(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//l$

1.4. Hai định lý về sự biểu thị véc-tơ

Định lý 1: Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}$, véc-tơ $\overrightarrow{b}$ tùy ý . Khi đó ta có :

$$\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{R}: \overrightarrow{b}=k.\overrightarrow{a}$$

Định lý 2: Cho hai véc-tơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và véc-tơ $\overrightarrow{c}$ bất kì. Khi đó tồn tại duy nhất cặp số thực $(m,n)$  sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.$

1.5. Tích vô hướng của hai véc-tơ 

i) Định nghĩa : Cho hai véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}.$ Tích vô hướng của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ , ký hiệu là $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$, xác định bởi công thức :

$$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.cos\left (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right )$$

Hệ quả : $$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$$

ii) Mở rộng :

a. $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\frac{1}{4}\left [ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^2-(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^2 \right ]=\frac{1}{4}\left ( \left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |^2-\left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |^2 \right )$

b. $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\left ( MA^2+MB^2-AB^2 \right )$

c. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{C_1D_1}$ ( với $C_1,D_1$ là hình chiếu của $C,D$ trên $AB.$)

iii) Ngoài ra, còn có khái niệm tích ngoài của hai véc-tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, kí hiệu là $\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}$, xác định như sau : 

$$\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=\left | \overrightarrow{a} \right |.\left | \overrightarrow{b} \right |.\sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$$

Hệ quả : $$\overrightarrow{a}\wedge \overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}$$

1.6. Một số hệ thức quen thuộc véc-tơ quen thuộc

1.6.1. Công thức điểm chia: $$\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}}{1-k}$$

Hệ quả : Nếu điểm $M$ nằm giữa $A,B$ ta có $k=\dfrac{-MA}{MB}$ , khi đó $$\overrightarrow{OM}=\dfrac{MB}{AB}.\overrightarrow{OA}+\dfrac{MA}{AB}\overrightarrow{OB}$$, đặc biệt khi $M$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}. (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

1.6.2. Hệ thức $Jacobi$

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ bất kỳ , đặt $S_a=S_{MBC},S_b=S_{MCA},S_c=S_{MAB}$ , khi đó ta có :

i) Nếu $M$ nằm trong tam giác thì 

$$S_a.\overrightarrow{MA}+S_b.\overrightarrow{MB}+S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$
ii) Nếu $M$ nằm ngoài tam giác,chẳng hạn $M$ thuộc góc $\widehat{BAC}$ và góc đối định của nó  thì

$$S_a.\overrightarrow{MA}-S_b.\overrightarrow{MB}-S_c.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

Tương tự khi $M$ thuộc các góc $\widehat{ACB},\widehat{ABC}.$

1.6.3. Với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ , $H$ là trực tâm , $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp , $I$ là tâm đường tròn nội tiếp, ta có các hệ thức sau

I)  $$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$$

II) $$\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})$$ 

với $M$ là điểm tùy ý

III) $$\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$$

IV) $$a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$

     $$a.\overrightarrow{ID}+b.\overrightarrow{IE}+c.\overrightarrow{IF}=\overrightarrow{0}$$

với $D,E,F$ là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác $ABC$ với các cạnh $BC,CA,AB$

V) $$tan\widehat{A}.\overrightarrow{HA}+tan\widehat{B}.\overrightarrow{HB}+tan\widehat{C}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$$

VI) $$\sin\widehat{2A}.\overrightarrow{OA}+\sin\widehat{2B}.\overrightarrow{OB}+\sin\widehat{2C}.\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$

Ngoài ta khi tam giác $ABC$ đều , tâm $O$, $M$ là điểm bất kỳ trong tam giác , $D,E,F$ là hình chiếu của $M$ trên $BC,CA,AB$. khi đó: 

$$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}.$$

1.7. Các định lí về véc-tơ

1.7.1) Định lí con nhím :

Cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$ và các véc-tơ đơn vị $\overrightarrow{e_i}(1\leq i \leq n)$ theo thứ tự vuông góc với $\overrightarrow{A_iA_{i+1}}$ (xem $A_{n+1}=A_1$), hướng ra phía ngoài đa giác . Khi đó ta có :

$$A_1A_2\overrightarrow{e_1}+A_2A_3\overrightarrow{e_2}+...+A_nA_1\overrightarrow{e_n}=\overrightarrow{0}$$

Có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh định lý , phần chứng minh dành cho bạn đọc. 

1.7.2) Tâm tỉ cự của một hệ điểm và mở rộng

a) Khái niệm : Cho hệ điểm $A_1,A_2,...,A_n$ và các số thực $m_1,m_2,...,m_n$ sao cho $m_1+m_2+...+m_n\neq 0$ , $I$ được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm $\begin{Bmatrix} A_1,A_2,...,A_n \end{Bmatrix}$ với các hệ số tương ứng $\begin{Bmatrix} m_1,m_2,...,m_n \end{Bmatrix}$ khi và chỉ khi:

$$m_1\overrightarrow{IA_1}+m_2\overrightarrow{IA_2}+...+m_n\overrightarrow{IA_n}=\overrightarrow{0}\left ( \sum_{k=1}^{n}m_k\overrightarrow{IA_k}=\overrightarrow{0} \right )$$
b) Tính chất 
i) $I$ xác định duy nhất 
ii) $I$ là tâm tỉ cự của hệ $\begin{Bmatrix}A_1,A_2,...,A_n \end{Bmatrix}$ với các hệ số $\begin{Bmatrix} m_1,m_2,...,m_n \end{Bmatrix}$ , cho $M$ là một điểm tùy ý, khi đó :
$$m_1.\overrightarrow{MA_1}+m_2.\overrightarrow{MA_2}+...+m_n.\overrightarrow{MA_n}=(m_1+m_2+...+m_n)\overrightarrow{MI}$$
2. Bài tập áp dụng các kiến thức
Mời thím Viet Hoang 99 post nhá :))...
3. Mở rộng hơn về véc-tơ và bài tập áp dụng.
........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 23-11-2014 - 13:48


#2 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 01-09-2014 - 21:27

PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ VECTO VÀ PHÉP TOÁN

1 Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức vecto

1.1 Phương pháp: 

- Biến đổi một vế, chỉ ra bằng vế còn lại

- Biến đổi cả hai vế, chỉ ra điều luôn đúng (Phương pháp biến đổi tương đương)

- Xuất phát từ một đẳng thức đã biết, biến đổi nó và chỉ ra điều phải chứng minh

- Tạo dựng hình phụ

1.2 Bài tập

(Các bài tập làm rồi được tô màu đỏ)

1) Cho tam giác $ABC$. $D;E\in AB;AC$ sao cho $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}; \overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{EA}$. $M$ là trung điểm $DE$. $I$ là trung điểm $BC$. $N\in CD$ sao cho $\overrightarrow{ND}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{y}$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{x}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{y}$

b) $\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{x}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{y}$

c) $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{x}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{y}$

d) $\overrightarrow{IN}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{x}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{y}$

e) $\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $MNI$

2) Cho tam giác $ABC$ trọng tâm $G$. $H$ đối xứng với $B$ qua $G$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AH}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

b) $\overrightarrow{MH}=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ ($M$ là trung điểm $BC$)

c) $\overrightarrow{MI'}=-\dfrac{1}{18}\overrightarrow{AB}-\dfrac{7}{18}\overrightarrow{AC}$ ($I'$ là trọng tâm tam giác $ABG$)

d) $\overrightarrow{CH}=-\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}} \right)$

3) Cho tam giác $ABC$. Gọi $M;N;P$ lần lượt là trung điểm của $BC;CA;AB$. Cmr:

\[\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\] 

 

4) Cho tứ giác $ABCD$

a) Cmr: Có duy nhất 1 điểm $G$ thỏa mãn: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ suy ra $G$ là trọng tâm tứ giác

b)Cmr: Với mọi $M$ ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$

c) Gọi $A';B';C';D'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD; CDA; ABD; ABC$. Cmr:

$\bullet $ $AA';BB';CC';DD'$ đồng quy tại $G$.

$\bullet $ Tứ giác $ABCD$ và tứ giác $A'B'C'D'$ có cùng trọng tâm.

5) Cho bốn điểm $A;B;C;D$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$

d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$  

6) Cho tam giác $A, B, C$. $G$ là trọng tâm của tam giác và $M$ là một điểm tùy ý trong mặt phẳng. Cmr:

a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

7) Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $I$. Biết $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{b}$

a) Cmr: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$

b) Tính $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DA}$ theo $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$

8) Cho 6 điểm $A, B, C, D, E, F$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DB}$

b) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$

9) Cho tam giác $ABC$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Cmr:

 \[a\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\]

10) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm. Cmr: $$\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$$

11) Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. Đặt $S_A=S_{MBC};S_B=S_{MAC};S_C=S_{MAB}$. Cmr: $$S_A.\overrightarrow{MA}+S_B.\overrightarrow{MB}+S_C.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

12) Cho tam giác $ABC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Cmr: $$\sin A.\overrightarrow{IA}+\sin B.\overrightarrow{IB}+\sin C.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$$

Có thể tổng quát kết quả trên được không: Cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$ ($n$ cạnh) ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Cmr: $$\sum_{i=1}^{n} \sin A_i.\overrightarrow{IA_i}=\overrightarrow{0}$$

13) Cho 4 điểm $A, B, C, D$. $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Cmr:

\[\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{MN}\]

14) Gọi $O; H; G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác $ABC$. Cmr:

a) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$

b) $\overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GO}$. Từ đó suy ra $O;H;G$ thẳng hàng

c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$

15) Cho tứ giác $ABCD$. $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Cmr: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{IJ}$$

16) Cho tam giác đều $ABC$ tâm $O$. $M$ là một điểm tùy ý bên trong tam giác; $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của nó trên $BC, CA, AB$. Cmr: \[\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\]

17) Cho tam giác $ABC$. Vẽ ra phía ngòai của tam giác các hình bình hành $ABIF, BCPQ, CARS$. Cmr: \[\overrightarrow{RF}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\] 

18) Cho 4 điểm $A, B, C, D$; $I, F$ lần lựot là trung điểm của $BC, CD$. Cmr: \[2\left( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{DA} \right)=3\overrightarrow{DB}\]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-09-2014 - 18:23


#3 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-09-2014 - 21:35

 

3) Cho tam giác $ABC$. Gọi $M;N;P$ lần lượt là trung điểm của $BC;CA;AB$. Cmr:

\[\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\] 

(to be continued...)

 

Ủng hộ bài $3$ mở màn 

Áp dụng công thức trung điểm , ta có :

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{0}$



#4 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 02-09-2014 - 05:25

 

PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ VECTO VÀ PHÉP TOÁN

16) Cho tam giác đều $ABC$ tâm $O$. $M$ là một điểm tùy ý bên trong tam giác; $D, E, F$ lần lượt là hình chiếu của nó trên $BC, CA, AB$. Cmr: \[\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}\]

 

 

Capture.PNG

vẽ các đường song song như hình vẽ,ta có

$2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})=(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{MG})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MK})+(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MH})=$

        $=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MH})+(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MG})+(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{MN})=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$

 

                                                                                           NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 03-09-2014 - 12:17

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#5 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 02-09-2014 - 05:38

 

PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ VECTO VÀ PHÉP TOÁN

15) Cho tứ giác $ABCD$. $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Cmr: $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{IJ}$$

 

 

$2\overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AJ}-2\overrightarrow{AI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})-(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$

 

P/s:có gì khi nào tham tham gia topic tiếp,giờ mình đi ăn chơi ngày quốc khách đây

 

                                                                                      NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 03-09-2014 - 12:17

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#6 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 02-09-2014 - 07:30

17) Cho tam giác $ABC$. Vẽ ra phía ngòai của tam giác các hình bình hành $ABIF, BCPQ, CARS$. Cmr: \[\overrightarrow{RF}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}\] 

 

$\overrightarrow{RF}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{IF}-\overrightarrow{IR}+\overrightarrow{PQ}-\overrightarrow{PI}+\overrightarrow{RS}-\overrightarrow{RP}$

$=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{RI}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IP}-\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{0}$

Đề bài 9a có chút nhầm lẫn nhé, là $a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=0$\

 

@Viet Hoang 99: Ok đã sửa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 02-09-2014 - 15:47


#7 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-09-2014 - 13:12

 

1.2 Bài tập

 

1) Cho tam giác $ABC$. $D;E\in AB;AC$ sao cho $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}; \overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{EA}$. $M$ là trung điểm $DE$. $I$ là trung điểm $BC$. $N\in CD$ sao cho $\overrightarrow{ND}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{y}$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{x}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{y}$

b) $\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{x}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{y}$

 

$a)$ $$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}$$

$b)$ $$\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CI}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EI}$$ $$\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{DB}$$ $$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{3}{4}\overrightarrow{y}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 02-09-2014 - 13:18

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#8 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 02-09-2014 - 16:27

10) Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm. Cmr: $$\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$$

 

 

h.PNG

Chọn $HC$ làm đường chéo của hình bình hành $HA'CB'$ (như hình vẽ)

 

$Ta-let\Rightarrow \frac{HB'}{HB}=\frac{DC}{DB}=\frac{\frac{AD}{BD}}{\frac{AD}{DC}}=\frac{\tan B}{\tan C}$

$\Rightarrow \overrightarrow{HB'}=-\frac{\tan B}{\tan C}.\overrightarrow{HB}$ (Do $\overrightarrow{HB'}$ và $\overrightarrow{HB}$ ngược hướng)

Cmtt $\Rightarrow \overrightarrow{HA'}=-\frac{\tan A}{\tan C}.\overrightarrow{HA}$

 

Mà theo quy tắc hình bình hành thì:

$\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA'}+\overrightarrow{HB'}$

$=-\frac{\tan A}{\tan C}.\overrightarrow{HA}-\frac{\tan B}{\tan C}.\overrightarrow{HB}$

$\Rightarrow \tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$ (đpcm)

 

 

P/s: Để TOPIC phát triển thì phải làm cả các bài dễ nữa đi các thánh ...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 06-08-2015 - 11:26


#9 hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 02-09-2014 - 19:49

 

PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ VECTO VÀ PHÉP TOÁN

 

5) Cho bốn điểm $A;B;C;D$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$

c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$

d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$  

 

a. Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

$=> ĐPCM$

b. Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD} (=\overrightarrow{AD})$

$=> \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$

$=> ĐPCM$

c. Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD})+(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

$=>ĐPCM$

d. Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}$

$=> ĐPCM$

p/s: Ai cũng làm những bài khó mà bài dễ còn nhiều ơi là nhiều. Tớ thì bài khó không làm nổi.... :icon9:  :unsure: 


:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#10 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2014 - 20:03

 

PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ VECTO VÀ PHÉP TOÁN

9) Cho tam giác $ABC$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Cmr:

 \[a\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\]

Gọi $A'$ là giao điểm của $AI$ và $BC$.

Theo tính chất của đường phân giác, ta có :

$$\frac{A'C}{A'B}=\frac{b}{c}\Rightarrow \frac{A'B}{c}=\frac{A'C}{b}=\frac{a}{b+c}$$

và $$\frac{IA'}{IA}=\frac{BA'}{BA}=\dfrac{\dfrac{ab}{b+c}}{c}=\frac{a}{b+c}$$

Tam giác $IBC$  có $$\overrightarrow{IA'}=\frac{A'C}{BC}\overrightarrow{IB}+\frac{A'B}{BC}\overrightarrow{IC}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{IB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{IC}$$

Mà $$\overrightarrow{IA'}=\dfrac{-IA'}{IA}\overrightarrow{IA}$$

Theo (2) ta có $$\overrightarrow{IA'}=\dfrac{-a}{b+c}.\overrightarrow{IA}$$

Từ đó suy ra $$\overrightarrow{IA'}=\dfrac{-a}{b+c}.\overrightarrow{IA}=\frac{b}{b+c}\overrightarrow{IB}+\frac{c}{b+c}\overrightarrow{IC}$$

nên ta có đpcm!

Hình gửi kèm

  • dadada.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 02-09-2014 - 20:04


#11 Vo Sy Nguyen

Vo Sy Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 02-09-2014 - 20:34

Mình xin đăng thêm bài này

 

19) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tồn tại $\alpha, \beta, \gamma$ sao cho

$\left\{\begin{matrix}\alpha+ \beta+ \gamma =1 \\ \alpha\overrightarrow{MA} +\beta\overrightarrow{MB}+ \gamma \overrightarrow{MC} = 0 \end{matrix}\right.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-09-2014 - 16:31


#12 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-09-2014 - 20:55

Mình xin đăng thêm bài này

 

Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tồn tại $\alpha, \beta, \gamma$ sao cho

$\left\{\begin{matrix}\alpha+ \beta+ \gamma =1 \\ \alpha\overrightarrow{MA} +\beta\overrightarrow{MB}+ \gamma \overrightarrow{MA} = 0 \end{matrix}\right.$

Mình nghĩ chỗ màu đỏ là $\overrightarrow{MC}$. Tổng quát thì chỉ cần $\alpha+\beta+\gamma\neq 0 $ là đủ, khi đó sẽ tồn tại duy nhất điểm $M$ thỏa :

$$\alpha\overrightarrow{MA} +\beta\overrightarrow{MB}+ \gamma \overrightarrow{MC} = 0$$

Bằng cách chuyển điểm $M$ là tâm tỉ cự của ba điểm $A,B,C$ với các hệ số $\alpha, \beta, \gamma$ sang $M$ là tâm tỉ cự của hệ $2$ điểm $E$ nào đó và $C$, ta được lời giải sau :

Vì $\alpha+\beta+\gamma\neq 0 $ nên giả sử $\alpha+\beta\neq 0$

Khi đó sẽ tồn tại điểm $E$ là tâm tỉ cự của hệ $2$ điểm $A,B$ với các hệ số $\alpha,\beta$, tức ta có  

$$\alpha \overrightarrow{EA}+\beta \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}$$

Chèn điểm $E$ vào biểu thức ban đầu,ta có :

$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

$$\Leftrightarrow \alpha (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA})+\beta (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB})+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

$$\Leftrightarrow  \alpha (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA})+\beta (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB})+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow (\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

Từ đó suy ra $M$ là tâm tỉ cự của hệ 2 điểm $E,C$ với các hệ số $\alpha +\beta$ và $\gamma $

Ta có : $$(\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow (\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}=\gamma \overrightarrow{CM}\Rightarrow (\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}=\gamma (\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EM})\Leftrightarrow \left ( \alpha +\beta +\gamma \right )\overrightarrow{ME}=\gamma \overrightarrow{CE}$$

Từ đây cho thấy tồn tại điểm $M$ 



#13 BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 02-09-2014 - 21:17

 

PHÂN LOẠI BÀI TẬP VỀ VECTO VÀ PHÉP TOÁN

 

6) Cho tam giác $A, B, C$. $G$ là trọng tâm của tam giác và $M$ là một điểm tùy ý trong mặt phẳng. Cmr:

a) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

 

Gọi D,E,F là trung điểm BC, CA, AB. Áp dụng công thức trung điểm:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CF}$

Tương tự:

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF})=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{MA}$

 Cm tương tự kết hợp kết quả phần a => đpcm


_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#14 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 02-09-2014 - 21:29

14) Gọi $O; H; G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm; trọng tâm của tam giác $ABC$. Cmr:

a) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HO}$

b) $\overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GO}$. Từ đó suy ra $O;H;G$ thẳng hàng

c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$

 

 

dd.jpg

$a)$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Kẻ đường kính $AD$

Ta dễ dàng chứng minh được $BHCD$ là hình bình hành $\Rightarrow H,M,D$ thẳng hàng

Có $OM$ $\parallel$ $AH$ (cùng vuông góc với $BC$)

$\Rightarrow \frac{OM}{AH}=\frac{DO}{DA}=\frac{1}{2}$ (Định lý Ta-lét)

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$

Ta có

$\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+2\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{HO}=2\overrightarrow{HO}$

$b)$ Ta có 

$\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{GH}-\overrightarrow{GA}$

$2\overrightarrow{OM}=2(\overrightarrow{GM}-\overrightarrow{GO})=2(\frac{-1}{2}\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GO})=-\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GO}$

Mà $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{HG}=2\overrightarrow{GO}$
$\Rightarrow$ $H,G,O$ thằng hàng
$c)$ ta dễ dàng chứng minh $\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}$ (câu $b$). CM nốt cái còn lại
Ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}$
 
@Viet Hoang 99: Gõ bằng $f(x)$ thì nhanh mà!
son: Ừ, chắc là do tớ gõ chậm chứ không phải lỗi của latex 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 03-09-2014 - 18:53

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#15 Vo Sy Nguyen

Vo Sy Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 02-09-2014 - 21:34

 

11) Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. Đặt $S_A=S_{MBC};S_B=S_{MAC};S_C=S_{MAB}$. Cmr: $$S_A.\overrightarrow{MA}+S_B.\overrightarrow{MB}+S_C.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

 

Đầu tiên ta dễ dàng chứng minh bổ đề  sau

Với điểm I thuộc cạnh BC trong tam giác ABC thì ta có $\overrightarrow{IA}=\frac{AB}{BC}\overrightarrow{IC}+\frac{AC}{BC}\overrightarrow{IB}$

 

Quay lại bài toán ta có

Gọi D là giao điểm của các đường thẳng AM, BC

Áp dụng bổ đề ta có

$\overrightarrow{MD}=\frac{DC}{BC}\overrightarrow{IB}+\frac{DB}{BC}\overrightarrow{IC}$ (1)

Dễ có 

$\frac{DC}{BC}=\frac{S_{b}}{S_{b}+S_{c}}$;

$\frac{DB}{BC}=\frac{S_{c}}{S_{b}+S_{c}}$

$\frac{MD}{MA}=\frac{S_{a}}{S_{b}+S_{c}}$

Mà $\overrightarrow{MD}$ trái hướng $\overrightarrow{MA}$

Thay vào (1)

có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-09-2014 - 15:27


#16 Vo Sy Nguyen

Vo Sy Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Nguyễn Du

Đã gửi 02-09-2014 - 21:38

Mình nghĩ chỗ màu đỏ là $\overrightarrow{MC}$. Tổng quát thì chỉ cần $\alpha+\beta+\gamma\neq 0 $ là đủ, khi đó sẽ tồn tại duy nhất điểm $M$ thỏa :

$$\alpha\overrightarrow{MA} +\beta\overrightarrow{MB}+ \gamma \overrightarrow{MC} = 0$$

Bằng cách chuyển điểm $M$ là tâm tỉ cự của ba điểm $A,B,C$ với các hệ số $\alpha, \beta, \gamma$ sang $M$ là tâm tỉ cự của hệ $2$ điểm $E$ nào đó và $C$, ta được lời giải sau :

Vì $\alpha+\beta+\gamma\neq 0 $ nên giả sử $\alpha+\beta\neq 0$

Khi đó sẽ tồn tại điểm $E$ là tâm tỉ cự của hệ $2$ điểm $A,B$ với các hệ số $\alpha,\beta$, tức ta có  

$$\alpha \overrightarrow{EA}+\beta \overrightarrow{EB}=\overrightarrow{0}$$

Chèn điểm $E$ vào biểu thức ban đầu,ta có :

$$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

$$\Leftrightarrow \alpha (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA})+\beta (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB})+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

$$\Leftrightarrow  \alpha (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EA})+\beta (\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB})+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow (\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$

Từ đó suy ra $M$ là tâm tỉ cự của hệ 2 điểm $E,C$ với các hệ số $\alpha +\beta$ và $\gamma $

Ta có : $$(\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow (\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}=\gamma \overrightarrow{CM}\Rightarrow (\alpha +\beta )\overrightarrow{ME}=\gamma (\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EM})\Leftrightarrow \left ( \alpha +\beta +\gamma \right )\overrightarrow{ME}=\gamma \overrightarrow{CE}$$

Từ đây cho thấy tồn tại điểm $M$ 

 

Cảm ơn bạn nhưng phải chứng minh cái này bạn ạ 



#17 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 02-09-2014 - 21:38

 

13) Cho 4 điểm $A, B, C, D$. $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Cmr:

\[\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{MN}\]

 

Ta có

$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MD}$

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MC}$

$\Rightarrow VT=2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC})=2.2\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{MN}=VP$

Hình gửi kèm

  • đá.jpg

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#18 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 03-09-2014 - 13:38

 

4) Cho tứ giác $ABCD$

a) Cmr: Có duy nhất 1 điểm $G$ thỏa mãn: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ suy ra $G$ là trọng tâm tứ giác

b)Cmr: Với mọi $M$ ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$

c) Gọi $A';B';C';D'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD; CDA; ABD; ABC$. Cmr:

$\bullet $ $AA';BB';CC';DD'$ đồng quy tại $G$.

$\bullet $ Tứ giác $ABCD$ và tứ giác $A'B'C'D'$ có cùng trọng tâm.

 

untitled.PNG

a/ Với G là trọng tâm, gọi P,Q là trung điểm AB, CD$=>\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GP}\\ \overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GQ} \end{matrix}\right.$

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}=>2(\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ})=\overrightarrow{0}=>\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}$

Suy ra G là trung điểm PQ nên G là duy nhất

b/ $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}=4\overrightarrow{MG}$

c/ * $AA'\cap BB'=E$ ,$CC'\cap DD'=F$

$\frac{QB'}{QA}=\frac{QA'}{QB}=\frac{1}{3}=>A'B'//AB=>\Delta AEB\sim \Delta A'EB'$

$=>\frac{AE}{AA'}=\frac{3}{4}$ hay $\overrightarrow{EA}=\frac{-3}{4}\overrightarrow{AA'}$$=\frac{-1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} )$

T/tự ta có$\overrightarrow{CF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{CC'}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD})$

$=>\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AD} )+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}=>E\equiv F$

=>đpcm

* $\overrightarrow{EA}=\frac{-3}{4}\overrightarrow{AA'}=\frac{-1}{4}\left (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right )$

Khai triển tương tự với $\overrightarrow{EB},\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED}$, ta được :

$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\frac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}+... \right )=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{EA'}+\overrightarrow{EB'}+\overrightarrow{EC'}+\overrightarrow{ED'}=\frac{-1}{3}\left ( \overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED} \right )=\overrightarrow{0}$

=>dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 03-09-2014 - 15:15


#19 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 03-09-2014 - 16:50

$a)$ $$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}$$

$b)$ $$\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{CI}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{EI}$$ $$\Leftrightarrow \overrightarrow{DI}+\overrightarrow{EI}=\overrightarrow{EC}-\overrightarrow{DB}$$ $$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{MI}=\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{3}{4}\overrightarrow{y}$$

ý $b$ bạn bị sai kiến thức nhé, $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\neq \overrightarrow{BC}$

Tất nhiên bài vẫn đúng vì chỉ là nhân cả 2 vế với $-1$

 

 

 

 

1) Cho tam giác $ABC$. $D;E\in AB;AC$ sao cho $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{DB}; \overrightarrow{CE}=3\overrightarrow{EA}$. $M$ là trung điểm $DE$. $I$ là trung điểm $BC$. $N\in CD$ sao cho $\overrightarrow{ND}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{x};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{y}$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{x}+\dfrac{1}{8}\overrightarrow{y}$

b) $\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{x}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{y}$

c) $\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{x}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{y}$

d) $\overrightarrow{IN}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{x}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{y}$

e) $\overrightarrow{MG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ với $G$ là trọng tâm tam giác $MNI$

2) Cho tam giác $ABC$ trọng tâm $G$. $H$ đối xứng với $B$ qua $G$. Cmr:

a) $\overrightarrow{AH}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

b) $\overrightarrow{MH}=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}$ ($M$ là trung điểm $BC$)

c) $\overrightarrow{MI'}=-\dfrac{1}{18}\overrightarrow{AB}-\dfrac{7}{18}\overrightarrow{AC}$ ($I'$ là trọng tâm tam giác $ABG$)

d) $\overrightarrow{CH}=-\dfrac{1}{3}\left( \overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}} \right)$

 

 

 

$1)$

h.PNG

$c)$ $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{y}+\frac{1}{4}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{y}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{y}+\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{6}\overrightarrow{x}+\frac{3}{4}\overrightarrow{y}$

$d)$ $\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{x}-\frac{1}{4}\overrightarrow{y}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{x}+\frac{1}{4}\overrightarrow{y}$

$e)$ $\overrightarrow{MG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MN}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{6}x+\frac{3}{8}\overrightarrow{y}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

 

$2)$

h1.PNG

$a)$ $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AH}$

$\Rightarrow \frac{3}{4}\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$b)$ $\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BH}=-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)-\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}$

$c)$ $\overrightarrow{MI'}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BI'}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BG}\right)=\frac{-1}{18}\overrightarrow{AB}-\frac{7}{18}\overrightarrow{AC}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-09-2014 - 16:48


#20 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 04-09-2014 - 16:46

 

7) Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $I$. Biết $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{b}$

a) Cmr: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AI}$

b) Tính $\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD};\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DA}$ theo $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$

 

 

$7)$ 

h.PNG

$a)$ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$

$b)$ 

  • $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{a}$
  • $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BI}=2\overrightarrow{b}$
  • $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$
  • $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$
  • $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$
  • $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

P/s: Mỗi bài đăng chỉ làm 1 bài chứ không làm gộp nhé, TOPIC load chậm quá.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 04-09-2014 - 16:50





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh