Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 15 Bình chọn

$\boxed{TOPIC}$ Véc-tơ và ứng dụng


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 120 trả lời

#41 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2014 - 20:23

$29)$ Cho trước hai điểm $A;B$ và hai ố thực $\alpha ;\beta $ thỏa mãn: $\alpha +\beta \neq 0$\\ a) Cmr: Tồn tại duy nhất điểm $I$ thỏa mãn: $$\alpha .\overrightarrow{IA}+\beta .\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$$

b) Từ đó suy ra với điểm bất kỳ $M$, ta luôn có: $$\alpha .\overrightarrow{MA}+\beta .\overrightarrow{MB}=(\alpha +\beta ).\overrightarrow{MI}$$

Bài 29. Chém bài dễ nhất

a. $$\alpha .\overrightarrow{IA}+\beta .\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow (\alpha+\beta ) \overrightarrow{IB}=\alpha \overrightarrow{AB}$$

Từ đó tìm được điểm $I$

b. Chèn điểm $M$ :

$$\alpha .\overrightarrow{IA}+\beta .\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow (\alpha+\beta ) \overrightarrow{IM}+\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=0$$

Suy ra đpcm

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-09-2014 - 11:04


#42 Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-09-2014 - 20:35

$35)$ Cho tứ giác $ABCD$. Xác định vị trí điểm $O$ thoả mãn: \[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\]

Bài 35. 

Gọi $K_1$ là tâm tỉ cự của hệ $\begin{Bmatrix} A;B \end{Bmatrix}$ với các hệ số  $\begin{Bmatrix} 1;1 \end{Bmatrix}$. Suy ra

$$\overrightarrow{K_1A}+\overrightarrow{K_1B}=0\Rightarrow 2\overrightarrow{OK_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$$

Tương tự gọi $K_2$ là tâm tỉ cự của hệ $\begin{Bmatrix} C;D \end{Bmatrix}$ với các hệ số  $\begin{Bmatrix} 1;1 \end{Bmatrix}$. Suy ra

$$\overrightarrow{K_2A}+\overrightarrow{K_2B}=0\Rightarrow 2\overrightarrow{OK_2}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$$

Từ đó ta có : 

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{OK_1}+\overrightarrow{OK_2}=\overrightarrow{0}$

nên $O$ là trung điểm $K_1K_2.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 14-09-2014 - 13:25


#43 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-09-2014 - 20:51

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$37)$ Cho tứ giác $ABCD$. Chứng minh chỉ có một điểm $M$ thoả mãn hệ thức: \[2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\]

 

$37)$ $$2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DM}$$

Ta dựng $\overrightarrow{CJ}=3\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CI}=2\overrightarrow{CA}$.

Từ đó: $2\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{DM}$

Và hiển nhiên $M$ tồn tại duy nhất $\square$

 

@ Viet Hoang 99: Với $H$ là trung điểm $IJ$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-09-2014 - 11:06

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#44 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-09-2014 - 20:57

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

 

$36)$ Cho tam giác $ABC$ cố định. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}\] không phụ thuộc vị trí của điểm $M$

 

$36)$ $$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}\Leftrightarrow \overrightarrow{a}=\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}$$

 

Bằng phép dựng vector, ta thấy $\overrightarrow{a}$ không phụ thuộc vào vị trí điểm $M$.


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#45 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 12-09-2014 - 20:57

 

$26)$ Cho hai điểm $A;B$. Xác định điểm $M$ biết: \[2\overrightarrow{MA}-3\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\]

$27)$ Cho hai điểm $A;B$ và một vecto $\overrightarrow{v}$. Xác định điểm $M$ biết: \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{v}\]

 

26. Từ GT $=>\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{BA}$$=>\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ cùng hướng

Do đó M,A,B thẳng hàng, $\frac{MA}{MB}=\frac{3}{2}$ và A,M nằm về 2 phía với B

27. Gọi I là trung điểm AB $=>\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}=>\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{MI}$

Vị trí điểm M t/m đề bài là sao cho $MI//\overrightarrow{v},~MI=\frac{1}{2} |\overrightarrow{v}|$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 12-09-2014 - 21:12


#46 Phuong Mark

Phuong Mark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 225 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:${\text{Vitamin Vitamin}}$
  • Sở thích:Tự kỉ một mình trong rừng xanh

Đã gửi 12-09-2014 - 21:08

$\boxed{12b:}$

 

Có thể tổng quát kết quả trên được không: Cho đa giác lồi $A_1A_2...A_n$ ($n$ cạnh) ngoại tiếp đường tròn tâm $I$. Cmr: $$\sum_{i=1}^{n} \sin A_i.\overrightarrow{IA_i}=\overrightarrow{0}$$

 

Bài làm:

Để chứng minh một bài toán này ta phải sử dụng cách tổng quát của bài toán sau:

Đề :

 

 

$19)$ 

Cho hình $n-$ giác đều $AA_{1}A_{2}...A_{n}$ tâm $O$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OA_{2}}+...+\overrightarrow{OA_{n}}=\overrightarrow{0}$

http://diendantoanho...verrightarrow0/

 

(Hãy nghĩ tiếp phần tổng quát bài $12$ đi các bạn)

 

và sử dụng kết quả cách tổng quát của bài $9$

 

$\blacktriangle$ Ở đề bài cách tổng quát đa giác đề kia ta sẽ sử dụng $2$ trường hợp đó là xét tính chẵn lẻ của $n$

 

@ đó chỉ là hướng làm của mình thui mong các bạn chỉ bảo  :lol:

 

@Viet Hoang 99: Nếu như áp dụng TQ của bài 9 và định lý $\sin $ thì xong lâu rồi. Nhưng chưa cm được tổng quát bài 9.

P/s: quy nạp bài 9, sieusieu90 dùng tâm tỉ cự đi.

 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-09-2014 - 10:58

Hẹn ngày tái ngộ VMF thân yêu !

 

 

 


#47 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 12-09-2014 - 21:18

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$31)$ Cho các điểm $A;B;C;D;E$. Xác định các điểm $O;I;K$ sao cho:

a) $$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$

b) $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$$

c) $$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE})=\overrightarrow{0}$$

 

Tư tưởng câu $c)$ được áp dụng cho $a$ và $b$.

 

$c)$ Một cách không tường minh, ta tìm được duy nhất một điểm $I$ là tâm tỉ cự của họ điểm $\begin{Bmatrix} A;B;C;D;E \end{Bmatrix}$ với họ $\begin{Bmatrix} 1;1;1;3;3 \end{Bmatrix}$

Từ đó: $$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3\overrightarrow{KD}+3\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 9\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{0}$$

Và vì thế ta đã xác định được điểm $K$.

__________________________________

 

Một cách tường minh, ta vẫn luôn luôn xác định được tâm tỉ cự $I$, mời bạn đọc xem xét cách giải tường minh này.

 

@ Viet Hoang 99: Cách tường minh giống với bài của CHU HOANG TRUNG ở trang 2 TOPIC

Tuy nhiên chỉ dùng cách này khi không còn cách nào khác.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 13-09-2014 - 11:13

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#48 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 13-09-2014 - 00:27

 

$36)$ Cho tam giác $ABC$ cố định. Chứng minh rằng: \[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC}\] không phụ thuộc vị trí của điểm $M$

 

Ta có

$\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}$

$4\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AM}$

$-5\overrightarrow{MC}=5\overrightarrow{AM}-5\overrightarrow{AC}$

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BM}+4\overrightarrow{AB}-4\overrightarrow{AM}+5\overrightarrow{AM}-5\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}-5\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{AB}-5\overrightarrow{AC}$

Mà $A,B,C$ cố định

$\Rightarrow$ Đpcm.

 

@Viet Hoang 99: Thức khuya nhỉ nhưng bài này Super Fields làm bên trên rồi.

Sơn: Oh, tớ không nhìn, quên mất, nhìn mỗi đề bài xong đăng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 13-09-2014 - 23:28

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#49 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 13-09-2014 - 00:39

$35)$ Cho tứ giác $ABCD$. Xác định vị trí điểm $O$ thoả mãn: \[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\]

vbcvvbm.jpg

Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$

Ta có

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$ ($P$ là trung điểm của $AB$)

$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OQ}$ ($Q$ là trung điểm của $CD$)

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})$

Mà $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $PQ$. Điểm $O$ như vậy người ta thường gọi là trọng tâm của tứ giác $ABCD$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#50 CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội
  • Sở thích:anime,manga

Đã gửi 13-09-2014 - 10:28

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$31)$ Cho các điểm $A;B;C;D;E$. Xác định các điểm $O;I;K$ sao cho:

a) $$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$$

b) $$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}$$

c) $$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE})=\overrightarrow{0}$$

 

a)$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

Gọi M ,N lần lượt là trung điểm cùa AC , BC 

Khi đó ta có $\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})+(2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow{OM}+4\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NM}+2\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{MN}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{ON}=\frac{\overrightarrow{MN}}{3}$


:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#51 CHU HOANG TRUNG

CHU HOANG TRUNG

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 237 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Bất Bạt - Ba Vì - Hà Nội
  • Sở thích:anime,manga

Đã gửi 13-09-2014 - 10:36

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

 

c) $$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE})=\overrightarrow{0}$$

 

 

Tư tưởng câu $c)$ được áp dụng cho $a$ và $b$.

 

$c)$ Một cách không tường minh, ta tìm được duy nhất một điểm $I$ là tâm tỉ cự của họ điểm $\begin{Bmatrix} A;B;C;D;E \end{Bmatrix}$ với họ $\begin{Bmatrix} 1;1;1;3;3 \end{Bmatrix}$

Từ đó: $$\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3\overrightarrow{KD}+3\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{0}\Rightarrow 9\overrightarrow{KI}=\overrightarrow{0}$$

Và vì thế ta đã xác định được điểm $K$.

__________________________________

 

Một cách tường minh, ta vẫn luôn luôn xác định được tâm tỉ cự $I$, mời bạn đọc xem xét cách giải tường minh này.

 

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  nên theo tính chất trọng tâm 

Ta có $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}\Leftrightarrow \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}+3(\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE})=3\overrightarrow{KG}+3\overrightarrow{KD}+3\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{KG}+\overrightarrow{KD}+\overrightarrow{KE}=\overrightarrow{0}$

Vậy  K là trọng tâm tam giác DGE


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CHU HOANG TRUNG: 13-09-2014 - 10:37

:like  MATHS   :like

ღ Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 

 

:ukliam2: Học, Học nữa , Học mãi     :ukliam2:

:icon12:  :icon12:  :icon12:

 

   :ukliam2:      My Blog : http://chuhoangtrung....blogspot.com/      :ukliam2:

 


#52 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 13-09-2014 - 23:35

$32)$ Cho tam giác $ABC$. Xác định vị trí điểm $M$ sao cho: \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\]

 

Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$. Khi đó

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MP}$

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MQ}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=2(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ})$

Mà $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $PQ$ (Đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 13-09-2014 - 23:36

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#53 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-09-2014 - 15:19

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto:

 

$28)$ Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NC=2NA$.

a) Xác định điểm $K$ sao cho: \[3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}\]

b) Xác định điểm $D$ sao cho: \[3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{0}\]

$28)$

$a.$

Dựng $I$ là trung điểm $MN$.

$$3\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 6\overrightarrow{AM}+6\overrightarrow{AN}=12\overrightarrow{AK}\Leftrightarrow 12\overrightarrow{AI}=12\overrightarrow{AK}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AK}\Leftrightarrow K\equiv I$$

 

12.png

 

$b.$

$$3\overrightarrow{AB}+4\overrightarrow{AC}-12\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 6\overrightarrow{AM}+6\overrightarrow{AN}+6\overrightarrow{AN}-12\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 12\overrightarrow{AK}-12\overrightarrow{KD}$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KD}$$

Và ta đã dựng được điểm $D$

 

$\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 14-09-2014 - 15:22

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#54 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-09-2014 - 15:31

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$30)$ Cho tam giác $ABC$.

a) Xác định điểm $I$ sao cho: \[\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}\]

b) Xác định điểm $K$ sao cho: \[\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}\]

c) Xác định điểm $M$ sao cho: \[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\]

 

$30)$. 

$a.)$

$$\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{2IB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AB}$$

$b.)$

$$\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{KA}=\overrightarrow{CB}-2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}$$

$c.)$

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{GC}$$

 

Công việc định điểm là chuyện mẫu giáo  :blink: 

$\square$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#55 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-09-2014 - 15:42

3. Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức vecto

$33)$ Cho tam giác $ABC$. Xác định các điểm $M;N$ sao cho:

a) \[\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\]

b) \[\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CB}\]

 

$34)$ Cho hình bình hành $ABCD$. Xác định điểm $M$ thoả mãn: \[3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\]

 

$33)$

$a.$

$$\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{BA}$$

$b.)$

$$\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CB}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{NA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}$$

 

Bài này giống hệt bài $30)$  :icon2:

 

$34)$

$$3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow M\equiv C$$

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#56 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:$\mathfrak{s}$treetwear

Đã gửi 14-09-2014 - 16:48

4. Dạng 4: Quỹ tích điểm

1 Phương pháp

Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức dạng $A=B$ $(1)$

Ta chuyển $(1)$ về các dạng sau:
$\bullet $ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}=const$ 

$\bullet $ $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\left|\overrightarrow{u}\right|=const\Rightarrow M\in (O;\left|\overrightarrow{u}\right|)$ 

$\bullet $ $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{BM}\right|$ $(A;B$ đã biết $)\Rightarrow M\in $ trung trực của $AB$.

$\bullet $ $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{BC}\Rightarrow M\in $ đường thẳng $(d)$ qua $A$ và song song hoặc trùng $BC$

2 Bài tập

38) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$

b) $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

39) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

b) $(1-k)\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

40) Trên hai tia $Ox$ và $Oy$ của góc $xOy$ lấy hai điểm $M;N$ sao cho $OM+ON=a$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của đoạn $MN$.

41) Cho tam giác $ABC$. $M$ tùy ý trong mặt phẳng.

a) Cmr: $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{MA}-5\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$ không đổi.

b) Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn: $$\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$$

42) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

b) $\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|4\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

c) $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

43) Cho tam giác $ABC$. $M;N$ di động trên $AB;AC$ sao cho $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CN}{CA}$. Dựng hình bình hành $MNCP$. Tìm tập hợp những điểm $P$

44) Cho tam giác $ABC$. $M;N;P$ di động trên tia $BC;CA;AB$ sao cho $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{PA}{PB}$. Dựng hình bình hành $MNPQ$. Tìm tập hợp những điểm $Q$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 16-09-2014 - 13:04


#57 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 14-09-2014 - 21:22

4. Dạng 4: Quỹ tích điểm

1 Phương pháp

Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức dạng $A=B$ $(1)$

Ta chuyển $(1)$ về các dạng sau:
$\bullet $ $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}=const$ 

$\bullet $ $\left|\overrightarrow{OM}\right|=\left|\overrightarrow{u}\right|=const\Rightarrow M\in (O;\left|\overrightarrow{u}\right|)$ 

$\bullet $ $\left|\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{BM}\right|$ $(A;B$ đã biết $)\Rightarrow M\in $ trung trực của $AB$.

$\bullet $ $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{BC}\Rightarrow M\in $ đường thẳng $(d)$ qua $A$ và song song hoặc trùng $BC$

2 Bài tập

38) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$

b) $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

 

$a)$ Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. $I$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$$\Rightarrow \begin{vmatrix} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} \overrightarrow{MG} \end{vmatrix}$

$\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI}$$\Rightarrow \begin{vmatrix} \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} \overrightarrow{MI} \end{vmatrix}$

Có $\begin{vmatrix} \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}=\frac{3}{2}\begin{vmatrix} \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}$

$\Rightarrow 3MG=\frac{3}{2}.2MI\Rightarrow MG=MI$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $M$ là đường trung trực của $GI$

$b)$ Giả sử tồn tại điểm $O$ duy nhất thỏa mãn $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$

Ta có

$\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{MO}+3\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{MO}-2\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{MO}$

$\Rightarrow \begin{vmatrix} \overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} \overrightarrow{MO} \end{vmatrix}$

$2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}$

$\Rightarrow \begin{vmatrix} 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{x} \end{vmatrix}=const$

Theo đề bài ta có

$2\begin{vmatrix} \overrightarrow{MO} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{x} \end{vmatrix}$ hay $MO=\frac{x}{2}=const$ 

$\Rightarrow$ Quỹ tích điểm $M$ là đường tròn tâm $\begin{pmatrix} O;\frac{x}{2} \end{pmatrix}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 14-09-2014 - 21:28

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#58 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-09-2014 - 21:29

4. Dạng 4: Quỹ tích điểm

38) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|$

b) $\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

$38)$

$a.$

$$\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\Leftrightarrow \left|3\overrightarrow{MG}\right|=3\left|\overrightarrow{MI}\right|\Leftrightarrow MG=MI$$

Vậy $M$ thuộc đường trung trực của $GI$

$b.$

Gọi $I$ là tâm tỉ cự của họ điểm $\begin{Bmatrix} MA;MB;MC \end{Bmatrix}$ với họ điểm $\begin{Bmatrix} 1;3;-2 \end{Bmatrix}$

Ta có $2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}$

Vậy: $$\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\Leftrightarrow 2MI=\begin{vmatrix} \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} \end{vmatrix}=2KA\Leftrightarrow MI=KA$$

Kết luận: $M$ thuộc $(I;KA)$

$\square$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 14-09-2014 - 22:08

$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#59 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 14-09-2014 - 21:39

 

39) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

b) $(1-k)\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

 

$a)$ $\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}-k\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{BC}$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ và song song với $BC$

$b)$ Từ GT $\Rightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-k(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})=\overrightarrow{0}$

Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ ta có

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MK}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow{MI}-2k\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{MI}=k\overrightarrow{MK}$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm $M$ là đoạn thẳng $IK$ 


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#60 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 14-09-2014 - 21:54

 

41) Cho tam giác $ABC$. $M$ tùy ý trong mặt phẳng.

a) Cmr: $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{MA}-5\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}$ không đổi.

b) Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn: $$\left|3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$$

$a)$ Ta có

$-5\overrightarrow{MB}=-5\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AM}$

$2\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AM}$

$\Rightarrow \overrightarrow{v}=-3\overrightarrow{MA}-5\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AC}-5\overrightarrow{AB}=const$ (Do $A,B,C$ cố định)

$b)$ Giả sử tồn tại duy nhất điểm $I$ thỏa mãn $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

Ta có

$3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{MI}-2\overrightarrow{IC}=3\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow \begin{vmatrix} 3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}=3\begin{vmatrix} \overrightarrow{MI} \end{vmatrix}$

Lại có $\begin{vmatrix} \overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{CB} \end{vmatrix}$ nên theo giả thiết ta có

$3\begin{vmatrix} \overrightarrow{MI} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{CB} \end{vmatrix}\Rightarrow MI=\frac{CB}{3}=const$

Vậy quỹ tích điểm $M$ là $\begin{pmatrix} I;\frac {CB}{3} \end{pmatrix}$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh