Đến nội dung

Hình ảnh

Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $6k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2+3 \vdots p$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết

1. Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $6k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2+3 \vdots p$
2. Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $6k+5$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2+3 \vdots p$
Thầy mình bảo giải 2 bài này bằng phương trình đồng dư.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 01-09-2014 - 21:23

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#2
Zz Isaac Newton Zz

Zz Isaac Newton Zz

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 392 Bài viết

1. Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $6k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2+3 \vdots p$
2. Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $6k+5$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^2+3 \vdots p$
Thầy mình bảo giải 2 bài này bằng phương trình đồng dư.

1. Nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+1$ thì $p\equiv 1($$mod$ $6)$$\Rightarrow$ $p\equiv 1($$mod$ $3),$ vậy bài toán đã trở về chứng minh rằng: nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$ Mà dễ thấy $p\neq 3$ nên

Bây giờ ta sẽ chứng minh một điều ngược lại là: Nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+2$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$

Giả sử tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$$\vdots$ $p$ hay $x^{2}+3\equiv0$$($$mod$$p)$$\Rightarrow x^{2}\equiv -3$$($$mod$ $p)$ $\Rightarrow \left ( \frac{-3}{p} \right )=1.$

Theo định lý tiêu chuẩn $Euler$ ta có: $1=\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{3}{p} \right ).$

Theo luật tương hỗ $Gauss$ ta có: $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{(3-1)(p-1)}{4}}=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\Rightarrow \left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{p}{3} \right ).$

Từ đây ta suy ra: $1=\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{p-1}\left ( \frac{p}{3} \right )$      ($*$)

Mà  $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+2$ nên $p\equiv 2($$mod$ $3)$$\Rightarrow \left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{3^{2}-1}{8}}=-1,$ từ đây thay vào ($*$) ta được: $1=\left ( -1 \right )^{p-1}\left ( -1 \right )=\left ( -1 \right )^{p}=-1,$ điều này vô lý nên suy ra điều phải chứng minh. Hay nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$ Vậy nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+1$ thì tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$

2. Nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+5$ thì $p\equiv 2($$mod$ $3),$ mà theo câu 1. thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$ Vậy từ đây suy ra, nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $6k+5$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zz Isaac Newton Zz: 29-10-2017 - 16:55


#3
IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết

Nếu $p$ là số nguyên tố có dạng $3k+2$ thì không tồn tại số nguyên $x$ sao cho $x^{2}+3$ $\vdots$ $p.$

Để chứng minh mệnh đề trên, có một cách rất ngắn gọn của anh Trung như sau:

 

Đề bài thiếu điều kiện $p$ nguyên tố lẻ nhé.

Cách khác sơ cấp hơn:

Giả sử tồn tại số nguyên $x$ mà $p | x^2 + 3$, có thể giả sử $x$ lẻ vì nếu $x$ chẵn có thể thay $x$ bởi $p - x$.

Hay là $x = 2l + 1, l\in Z$.

$\Rightarrow p | 4(l^2 + l + 1)$.

$\Rightarrow p | l^2 + l + 1$. (1)

$\Rightarrow p | l^3 - 1$. (2).

Mặt khác theo định lý Fermat:

$p | l^{3k + 1} - 1$. (3).

Từ (2) và (3) suy ra $p | l - 1$, điều kiện này kết hợp với (1) suy ra $k | 3$ và điều này là mâu thuẫn.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 01-11-2017 - 22:48





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh