Chủ đề này có 1 trả lời

[terikodinh]

cho a,b,c là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn $xy+yz+xz+xyz=20$ chứng minh rằng:$\frac{3}{x+y+z-3}\geq (x-1)(y-1)(z-1)$

[lahantaithe99]

cho a,b,c là các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn $xy+yz+xz+xyz=20$ chứng minh rằng:$\frac{3}{x+y+z-3}\geq (x-1)(y-1)(z-1)$

 

Đặt $(x-1,y-1,z-1)=(a,b,c)$ cần chứng minh $3\geqslant abc(a+b+c)$ $(*)$

 

Khi đó $xy+yz+xz+xyz=20\Leftrightarrow 16=2(ab+bc+ac)+3(a+b+c)+abc$

 

Suy ra $16\leqslant \frac{2(a+b+c)^2}{3}+3(a+b+c)+\frac{(a+b+c)^3}{27}\rightarrow a+b+c\geqslant 3$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho $9$ số $\frac{\sum a}{3}$ và $1$ số $abc$ thì

 

$16=2\sum ab+3\sum a+abc\geqslant 2\sqrt{3abc(a+b+c)}+10\sqrt[10]{\frac{abc(a+b+c)^9}{3^9}}$

 

$\Leftrightarrow 16\geqslant 2\sqrt{3abc(a+b+c)}+10\sqrt[10]{\frac{abc(a+b+c)}{3}}$ (do $a+b+c\geqslant 3$)

 

Đặt $\sqrt[10]{\frac{abc(a+b+c)}{3}}=t\Rightarrow 16\geqslant 6t^5+10t\rightarrow t\leqslant 1\Leftrightarrow abc(a+b+c)\leqslant 3$

 

(đpcm)

 

Dấu $=$ khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=2$