Cho (E,d) là không gian metric, A là tập mở trong E, B thuộc E thỏa mãn A và B đều trù mật trong E. Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E.
$A\cap B$ cũng trù mật trong E.
#1
Đã gửi 03-09-2014 - 04:28
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#2
Đã gửi 04-09-2014 - 19:53
Cho (E,d) là không gian metric, A là tập mở trong E, B thuộc E thỏa mãn A và B đều trù mật trong E. Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E.
Mình làm như thế này, mọi người xem có đúng ko?
Phân tích:
Để chứng minh $\overline{A\cap B}=E$, ta chỉ cần chứng minh $E\subset \overline{A\cap B}$( có nghĩa là $x\in E\Rightarrow x\in \overline{A\cap B}$) vì $E$ là toàn bộ không gian nên luôn có $\overline{A\cap B}\subset E$
Mà $x\in \overline{A\cap B}\Leftrightarrow \left \{ \forall r>0: B\left ( x,r \right )\cap \left ( A\cap B \right )\neq 0 \right \}$ với $B(x, r)$ là quả cầu mở tâm $x$ bán kính $r$. (Một số tài liệu lại kí hiệu là $S\left ( x,r \right )$)
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $A\cap B\neq 0$.
Lời giải.
Do $A$ là tập mở $y\in A\Leftrightarrow \left \{ \exists a>0: B\left ( y,a \right )\subset A \right \}\, (1)$
Vì $y\in A\subset \overline{A}=\overline{B}\Leftrightarrow \left \{ \forall b>0: B\left ( y,b \right )\cap B\neq0\right \}\, (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow A\cap B\neq0\, (3)$
Lấy bất kỳ $x\in E\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in \overline{A}\Leftrightarrow \left \{ \forall r>0: B(x,r)\cap A\neq0 \right \}\\x\in \overline{B}\Leftrightarrow \left \{ \forall r>0: B(x,r)\cap B\neq0 \right \}\end{matrix}\right.\, (4)$
Từ $(3)$ và $4$ $\Rightarrow \left \{ \forall r>0: B(x,r)\cap \left ( A\cap B \right )\neq0 \right \}\Leftrightarrow x\in \overline{A\cap B}\Rightarrow E\subset \overline{A\cap B}$
Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn.
$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$
$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$
#3
Đã gửi 04-09-2014 - 20:37
Em viết lại lơi giải của a (theo e là dễ nhìn hơn).
Giả sử $G$ là một tập mở khác rỗng bất kỳ trong $E$.
Do $A$ trù mật trong $E$ nên $A\cap G \neq \varnothing$.
Mặt khác $A$ mở nên $A\cap G$ mở.
Vì $B$ trù mật trong $E$ nên $B\cap \left ( A\cap G \right )\neq \varnothing$.
Tức là $G\cap \left ( A\cap B \right )\neq \varnothing$.
Vậy $A\cap B$ trù mật trong $E$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 04-09-2014 - 21:40
- Mrnhan yêu thích
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
#4
Đã gửi 10-12-2014 - 20:48
$\overline{A} = E$ là trù mật khắp nơi rồi. Bài toán của chúng ta ở đây là chứng minh trù mật.
Khái niệm trù mật :
$A;B \subset X$ khi đó A được gọi là trù mật trong B nếu B $\subset \overline{A}$
Tôi sẵn sàng đi hỏi một đứa trẻ lớp 1, điều mà tôi chưa biết...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh