Chủ đề này có 3 trả lời

[Mrnhan]

Cho (E,d) là không gian metric, A là tập mở trong E, B thuộc E thỏa mãn A và B đều trù mật trong E. Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E.

[Mrnhan]

Cho (E,d) là không gian metric, A là tập mở trong E, B thuộc E thỏa mãn A và B đều trù mật trong E. Chứng minh rằng $A\cap B$ cũng trù mật trong E.

 

Mình làm như thế này, mọi người xem có đúng ko?

 

Phân tích: 

 

Để chứng minh $\overline{A\cap B}=E$,  ta chỉ cần chứng minh $E\subset \overline{A\cap B}$( có nghĩa là $x\in E\Rightarrow x\in \overline{A\cap B}$) vì $E$ là toàn bộ không gian nên luôn có $\overline{A\cap B}\subset E$

 

Mà $x\in \overline{A\cap B}\Leftrightarrow \left \{ \forall r>0: B\left ( x,r \right )\cap \left ( A\cap B \right )\neq 0 \right \}$ với $B(x, r)$ là quả cầu mở tâm $x$ bán kính $r$. (Một số tài liệu lại kí hiệu là $S\left ( x,r \right )$)

 

Bây giờ ta chỉ cần chứng minh $A\cap B\neq 0$.

 

Lời giải.

 

Do $A$ là tập mở $y\in A\Leftrightarrow \left \{ \exists a>0: B\left ( y,a \right )\subset A \right \}\, (1)$

 

Vì $y\in A\subset \overline{A}=\overline{B}\Leftrightarrow \left \{ \forall b>0: B\left ( y,b \right )\cap B\neq0\right \}\, (2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$$\Rightarrow A\cap B\neq0\, (3)$

 

Lấy bất kỳ $x\in E\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in \overline{A}\Leftrightarrow \left \{ \forall r>0: B(x,r)\cap A\neq0 \right \}\\x\in \overline{B}\Leftrightarrow \left \{ \forall r>0: B(x,r)\cap B\neq0 \right \}\end{matrix}\right.\, (4)$

 

Từ $(3)$ và $4$ $\Rightarrow \left \{ \forall r>0: B(x,r)\cap \left ( A\cap B \right )\neq0 \right \}\Leftrightarrow x\in \overline{A\cap B}\Rightarrow E\subset \overline{A\cap B}$

 

Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn.

[ChangBietDatTenSaoChoDoc]

Em viết lại lơi giải của a (theo e là dễ nhìn hơn).

Giả sử $G$ là một tập mở khác rỗng bất kỳ trong $E$.

Do $A$ trù mật trong $E$ nên $A\cap G \neq \varnothing$.

Mặt khác $A$ mở nên $A\cap G$ mở.

Vì $B$ trù mật trong $E$ nên $B\cap \left ( A\cap G \right )\neq \varnothing$.

Tức là $G\cap \left ( A\cap B \right )\neq \varnothing$.

Vậy $A\cap B$ trù mật trong $E$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mrnhan: 04-09-2014 - 21:40

[baocatbatu]

$\overline{A} = E$ là trù mật khắp nơi rồi. Bài toán của chúng ta ở đây là chứng minh trù mật.

Khái niệm trù mật :

$A;B  \subset X$ khi đó A được gọi là trù mật trong B nếu B $\subset \overline{A}$