Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

China Girls Math Olympiad 2014

china cgmo cgmo 2014 2014

  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 05-09-2014 - 15:59

China Girls Math Olympiad 2014

 

Ngày 1: 12/08/2014

Bài 1. Cho hai đường tròn $O_1$ và $O_2$ giao nhau tại $A, B$. Ta kéo dài đường $O_1 A$, cắt $(O_2)$ tại C; kéo dài đường $O_2 A$ và cắt $(O_1)$ tại $D$. Qua điểm $B$, ta vẽ đường thẳng song song với $O_2 A$, cắt $(O_1)$ tại điểm thứ hai là $E$. Chứng minh rằng nếu $DE \parallel O_1A$ thì $DC \perp CO_2$.

cgmo%202014%20p1.jpg


Bài 2. Cho dãy các số thực $x_1,x_2,\ldots ,x_n$, trong đó, $n\ge 2$ là một số nguyên; và $\lfloor{x_1}\rfloor,\lfloor{x_2}\rfloor,\ldots,\lfloor{x_n}\rfloor$ là một hoán vị của $1,2,\ldots,n$.
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lfloor{x_{i+1}-x_i}\rfloor$
(Ở đây, $\lfloor x\rfloor$ được dùng là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$).

Bài 3. Trong một lớp học có $n$ học sinh: mỗi học sinh quen với đúng $d$ bạn nữ và $d$ bạn nam ("quen" là một quan hệ hai bên). Tìm tất cả các cặp $(n,d)$ thỏa mãn cho lớp học đó.

Bài 4. Với mỗi số nguyên $m\geq 4$, Ta lấy $T_{m}$ là số các dãy số $a_{1},\dots,a_{m}$ sao cho các mệnh đề sau được thỏa mãn:
(1) $a_{i}\in \{1,2,3,4\}$ $\forall i=\overline{1,m}$
(2) $a_{1} = a_{m} = 1$
(3) Các số $a_{i}$, $a_{i-1}$ và $a_{i-2}$ là phân biệt với mọi $i=\overline{3,m}$

Chứng minh rằng tồn tại một cấp số nhân gồm các số nguyên dương $\{g_{n}\}$ sao cho với $n\geq 4$ ta có
$$g_{n} - 2\sqrt{g_{n}} < T_{n} < g_{n} + 2\sqrt{g_{n}}$$.

Ngày 2: 13/08/2014

Bài 5. Cho $a$ là một số nguyên dương, nhưng không chính phương; $r$ là một nghiệm thực của phương trình $x^3-2ax+1=0$. Chứng minh rằng $r+\sqrt{a}$ là một số vô tỉ.

Bài 6. Cho tam giác nhọn $ABC$: $AB > AC$. Lấy $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$ và $AC$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp của $\Delta BCE$ tại điểm thứ hai là $P$. Đường tròn ngoại tiếp của $\Delta ADE$ giao với đường tròn ngoại tiếp $\Delta BCD$ tại điểm thứ hai là $Q$. Chứng minh rằng $AP = AQ$.

Bài 7. Với một tập hợp $X$ khác rỗng gồm hữu hạn các số thực, ta định nghĩa hàm $f(X) = \frac{1}{|X|} \displaystyle\sum\limits_{a\in X} a$, trong đó, $\left\lvert X \right\rvert$ là số các phần tử của $X$. Với các cặp tập hợp có sắp xếp $(A,B)$ sao cho $A\cup B = \{1, 2, \dots , 100\}$ và $A\cap B = \emptyset$ $\left( 1\leq |A| \leq 98\right) $, ta chọn một số $p\in B$ bất kỳ, và lấy $A_{p} = A\cup \{p\}$ và $B_{p} = B - \{p\}$. Trong tất cả các cặp $(A,B)$ và $p\in B$, hãy xác định giá trị lớn nhất của biểu thức $(f(A_{p})-f(A))(f(B_{p})-f(B))$.

Bài 8. Cho $n$ là một số nguyên dương, và tập hợp $S$ gồm tất cả các giá trị nguyên tố cùng nhau với $n$ trong $\{1,2,\dots,n\}$.
Ta định nghĩa các tập hợp $S_1 = S \cap \left(0, \frac n3 \right]$, $S_2 = S \cap \left( \frac n3, \frac {2n}3 \right]$, $S_3 = S \cap \left( \frac{2n}{3}, n \right]$.
Chứng minh rằng nếu số các phần tử của $S$ là một bội số của $3$ thì $S_1, S_2, S_3$ có cùng một số các phần tử.

 

--- Hết ---


^^~





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh