CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014
THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI
Câu 1 : Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :
$$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \end{matrix}\right.$$
Xét dãy $(y_n)$ như sau :
$$y_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i+2}$$
Tính $\lim y_n$.
Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn
$$p^{q+1}+q^{p+1}$$
là một số chính phương.
Câu 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :
$$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$
Câu 4 : Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. $H$ là hình chiếu vuông góc từ $A$ xuống $BC$. Trung tuyến $CM$ của tam giác $ABC$ cắt $(ABC)$ tại $K$.
1) Chứng minh hai tam giác $KAD,KHM$ đồng dạng.
2) Chứng minh $K,H,C,D$ đồng viên.
Câu 5 : Cho hai tập $A,B$ có các phần tử là các số nguyên dương. Biết tổng của bất kỳ hai phần tử phân biệt của tập $A$ sẽ là một phần tử của tập $B$. Tỷ số bất kỳ của hai phần tử phân biệt của tập $B$ (ta chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn) là một phần tử của $A$. Xác định số phần tử nhiều nhất của $A\cup B$