Bài toán :
Cho $p$ là một số nguyên tố có dạng $4k+1$ thỏa mãn $2^p\equiv 2(mod p^2)$.
Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $2^p-1$ thỏa mãn $2^q>(6p)^p$.
Bài toán :
Cho $p$ là một số nguyên tố có dạng $4k+1$ thỏa mãn $2^p\equiv 2(mod p^2)$.
Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $2^p-1$ thỏa mãn $2^q>(6p)^p$.
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Bài toán :
Cho $p$ là một số nguyên tố có dạng $4k+1$ thỏa mãn $2^p\equiv 2(mod p^2)$.
Chứng minh rằng tồn tại một ước nguyên tố $q$ của $2^p-1$ thỏa mãn $2^q>(6p)^p$.
Ta chứng minh bài toán dưới đây :
"Gỉa sử $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+1\;(k\in \mathbb{Z})$ sao cho $p^2\mid 2^p-2$. Gọi $q$ là ước nguyên tố lớn nhất của $2^p-1$. Chứng minh rằng $2^q>2.(6p)^p$."
Lời giải :
Gỉa sử rằng :
$$2^p-1=q_1^{k_1}q_2^{k_2}...q_m^{k_m}$$
Trong đó $q_i\in \mathbb{P},k_i\in \mathbb{N}^*,\;\forall i=\overline{1,m},q_1< q_2< ...< q_m$
Lại đặt $q_i=1+x_ip\;\;(x_i\in \mathbb{N}),\;\forall i=\overline{1,m}$
Ta có :
$$2^p-1=(1+x_1p)^{k_1}(1+x_2p)^{k_2}...(1+x_mp)^{k_m}$$
Theo giả thiết :
$$2^{p}-2\equiv 0\;(mod\;p^2)\Rightarrow 1\equiv \prod_{i=1}^{m}(1+x_ip)^{k_i}\;(mod\;p^2)$$
Để ý rằng ta có :
$$(1+x_ip)^{k_i}=1+\dfrac{k_i}{1}.x_ip+\dfrac{k_i(k_i-1)}{2!}x_i^2p^2+...+x_i^{k_i}p^{k_i}\equiv 1+k_ix_ip\;(mod\;p^2)$$
Do vậy mà :
$$\prod_{i=1}^{m}(1+k_ix_ip)\equiv 1\;(mod\;p^2)\Rightarrow 1+\sum_{i=1}^{m}k_ix_ip\equiv 1\;(mod\;p^2)\Rightarrow \sum_{i=1}^{m}k_ix_i\equiv 0\;(mod\;p)\Rightarrow x_m\sum_{i=1}^{m}k_i> \sum_{i=1}^{m}x_ik_i\geq p$$
Ta cũng có :
$$2^{p}-1\equiv 0\;(mod\;q_i)\Rightarrow 2^{p+1}\equiv 2\;(mod\;q_i)\Rightarrow \left ( \dfrac{2}{q_i} \right )=1\Rightarrow q_i\equiv \pm 1\;(mod\;8)\Rightarrow 1+x_ip\equiv \pm 1\;(mod\;8)\Rightarrow 8\mid x_i\;\vee \;x_ip\equiv 6\;(mod\;8)\Rightarrow 8\mid x_i\;\vee \;x_i\equiv 6\;(mod\;8)\Rightarrow x_i\geq 6$$
Từ đó dẫn đến :
$$2^p-1=\prod_{i=1}^{m}(1+x_ip)^{k_i}> (6p)^{k_1+k_2+...+k_m}\Rightarrow 2^{p.x_m}> (6p)^{x_m(k_1+k_2+...+k_m)}> (6p)^p$$
Hay :
$$2^{q-1}=2^{q_m-1}> (6p)^p\Rightarrow 2^q> 2.(6p)^p$$
Bài toán được giải quyết trọn vẹn.
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh