Chủ đề này có 4 trả lời

[xxthieuongxx]

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.

Cmr:  1. $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+2bc}\geq 1$.

          2. $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{2a+bc}\leq 1$.

 

Bài 2: Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $abc=1$.

Cmr:  $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$.

 

Bài 3: Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$.

Cmr: $2(\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{b})\geq \sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{1+a}{1-a}$.

 

Bài 4: Cho $a,b,c> 0$.

Cmr: $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq 3$.

 

Bài 5: Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

Cmr: $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{1}{1-ab}\leq \frac{9}{2}$.

 

 

Với $\sum_{cyc}^{a,b,c}$ là tổng hoán vị vòng tròn của a,b,c.

[Rias Gremory]

Bài 2: Cho $a,b,c> 0$ thỏa mãn $abc=1$.

Cmr:  $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \frac{3}{2}$.

$VT=\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^2}}{a(b+c)}\geq \frac{(\sum\frac{1}{a})^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}$

Áp dụng $AM-GM$ $VT\geq \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}$

[Trang Luong]

Bài 1: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=3$.

Cmr:  1. $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+2bc}\geq 1$

Nếu $a=0$ thì $VT=2>1$

Nếu 3 số đều dương 

$\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+2bc} = \sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a^{2}}{a^{2}+2abc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6abc}=\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6abc}$

Ta CM $\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6abc}\geq 1$

$\Leftrightarrow 9\geq \sum_{cyc}^{a,b,c}a^{2}+6abc$

$\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{a,b,c}ab\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}\geq 3abc$ {vì $1\geq abc$)

Vậy $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{a}{a+2bc}\geq 1$

[hoctrocuanewton]

 

Bài 4: Cho $a,b,c> 0$.

Cmr: $\sum_{cyc}^{a,b,c}\frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq 3$.

 

 

Áp dụng BĐT schwarz ta có :

$\sum \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+b^{2}+2c^{2}}\leq \sum (\frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}})= 3$

Vậy ta được đpcm

[hieutrungpro]

Em nào quan tâm đến bất đẳng thức cauchy schwarz dạng engel thì có thể tải thêm tài liệu tại đây mà xem nè, khá hay và đầy đủ nhé:

https://tailieure.co...hy-schwarz.html