Cho $a,b,c\geq 0$. Cmr: $\frac{a^{2}-bc}{a+b}+\frac{b^{2}-ac}{c+b}+\frac{c^{2}-ab}{a+c}\geq 0$.
Cho $a,b,c\geq 0$. Cmr: $\frac{a^{2}-bc}{a+b}+\frac{b^{2}-ac}{c+b}+\frac{c^{2}-ab}{a+c}\geq 0$
Bắt đầu bởi xxthieuongxx, 10-09-2014 - 21:23
#2
Đã gửi 10-09-2014 - 22:11
Mikhail Leptchinski
-
- Thành viên
-
- 703 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c\geq 0$. Cmr: $\frac{a^{2}-bc}{a+b}+\frac{b^{2}-ac}{c+b}+\frac{c^{2}-ab}{a+c}\geq 0$.
Ta có:$\frac{a^2-bc}{a+b}=\frac{a(a+c)}{a+b}-c$
Ta cần chứng minh bất đẳng thức như sau
$\frac{a(a+c)}{a+b}+\frac{b(b+a)}{b+c}+\frac{c(b+c)}{c+a}\geq a+b+c$
Áp dụng bất đẳng thức cô si svat có
$\sum \frac{a(a+c)}{a+b}\geq \frac{\left [ \sum a(a+c)^2 \right ]}{\sum a(a+b)(a+c)}=\frac{(\sum a^2+\sum bc)^2}{\sum a^3+(\sum a)(\sum bc)}$
Ta chứng minh bất đẳng thức sau
$(\sum a^2+\sum bc)^2\geq (\sum a)(\sum a^3)+(\sum a)^2(\sum bc)$
Vì $(\sum a^2+\sum bc)^2=(\sum a^2)^2+2(\sum a^2)(\sum bc)+\sum (bc)^2$
và $(\sum a)^2(\sum bc)=(\sum a^2)(\sum bc)+2(\sum bc)^2$
Từ đó có:$(\sum a^2)^2+(\sum a^2)(\sum bc)\geq (\sum a)(\sum a^3)+(\sum bc)^3$
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh
$\sum b^2c^2\geq abc\sum a$
Ta có:$\sum b^2c^2-abc\sum a=\frac{1}{2}\sum a^2(b-c)^2$ đúng
=> Điều phải chứng minh
Dấu bằng xảy ra:<=>$a=b=c$
Bài bất đẳng thức trên khá hay và khó.Mình mong bạn xem lại đề bài $a,b,c>0$ chứ nếu $a=b=0$ thì không tồn tại bất đẳng thức!
- xxthieuongxx, chardhdmovies, VuDucTung và 1 người khác yêu thích
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đường đi không khó vì ngăn sông cách núi,mà khó vì lòng người ngại núi e sông
Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhé
Tại đây
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
