Chủ đề này có 8 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1:Tìm tất cả hàm số liên tục $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $2f(2x)=f(x)+x$ với $\forall x \in \mathbb{R}$

Bài 2:Tìm tất cả hàm số liên tục $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+yf(x))=f(x)+xf(y); \forall x,y \in \mathbb{R}$

[shinichigl]

Bài 2:Tìm tất cả hàm số liên tục $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x+yf(x))=f(x)+xf(y); \forall x,y \in \mathbb{R}$ (1)

TH1. $f\left ( 1 \right )\neq 1$

Thay $x=1$, $y=\frac{1}{1-f\left ( 1 \right )}$ vào (1): 

$f\left ( 1+\frac{f\left ( 1 \right )}{1-f\left ( 1 \right )} \right )=f\left ( 1 \right )+f\left ( \frac{1}{1-f\left ( 1 \right )} \right )\Rightarrow f\left ( 1 \right )=0$

Thay $x=1$ vào (1):

$f\left ( 1 \right )=f\left ( 1 \right )+f\left ( y \right ),\forall y\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f\left ( y \right )=0,\forall y\in \mathbb{R}$ (thõa mãn $f$ liên tục)

TH2. $f\left ( 1 \right )=1$

Thay $y=0$ vào (1):

$f\left ( x \right )=f\left ( x \right )+xf\left ( 0 \right ),\forall x\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f\left ( 0 \right )=0$

Thay $x=1$ vào (1):

$f\left ( y+1 \right )=f\left ( y \right )+1,\forall y\in \mathbb{R}$

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được: $f\left ( y+n \right )=f\left ( y \right )+n,\forall y\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}$ (2)

Thay $y=0$ vào (2): $f\left ( n \right )=n,\forall n\in \mathbb{Z}$

Thay y bởi $\frac{y}{f\left ( x \right )}$ vào (1): $f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+xf\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

Từ (2) $\Rightarrow f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y,\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

$\Rightarrow f\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right )=\frac{y}{x}=f\left ( \frac{y}{x} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

$\Rightarrow f\left ( r \right )=r,\forall r\in \mathbb{Q}$

Với mỗi $x\in \mathbb{R}$ tồn tại dãy số hữu tỉ $\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{+\infty }$ sao cho $\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=x$.

Vì $f$ liên tục nên

$f\left ( x \right )=f\left ( \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left ( r_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=x$

$\Rightarrow f\left ( x \right )=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy có hai hàm thõa mãn yêu cầu đề bài là

$f\left ( x \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$

$f\left ( x \right )=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 11-09-2014 - 12:34

[caybutbixanh]

TH1. $f\left ( 1 \right )\neq 1$

Thay $x=1$, $y=\frac{1}{1-f\left ( 1 \right )}$ vào (1): 

$f\left ( 1+\frac{f\left ( 1 \right )}{1-f\left ( 1 \right )} \right )=f\left ( 1 \right )+f\left ( \frac{1}{1-f\left ( 1 \right )} \right )\Rightarrow f\left ( 1 \right )=0$

Thay $x=1$ vào (1):

$f\left ( 1 \right )=f\left ( 1 \right )+f\left ( y \right ),\forall y\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f\left ( y \right )=0,\forall y\in \mathbb{R}$ (thõa mãn $f$ liên tục)

TH2. $f\left ( 1 \right )=1$

Thay $y=0$ vào (1):

$f\left ( x \right )=f\left ( x \right )+xf\left ( 0 \right ),\forall x\in \mathbb{R}$

$\Rightarrow f\left ( 0 \right )=0$

Thay $x=1$ vào (1):

$f\left ( y+1 \right )=f\left ( y \right )+1,\forall y\in \mathbb{R}$

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được: $f\left ( y+n \right )=f\left ( y \right )+n,\forall y\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}$ (2)

Thay $y=0$ vào (2): $f\left ( n \right )=n,\forall n\in \mathbb{Z}$

Thay y bởi $\frac{y}{f\left ( x \right )}$ vào (1): $f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+xf\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

Từ (2) $\Rightarrow f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y,\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

$\Rightarrow f\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right )=\frac{y}{x}=f\left ( \frac{y}{x} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

$\Rightarrow f\left ( r \right )=r,\forall r\in \mathbb{Q}$

Với mỗi $x\in \mathbb{R}$ tồn tại dãy số hữu tỉ $\left \{ r_{n} \right \}_{n=1}^{+\infty }$ sao cho $\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=x$.

Vì $f$ liên tục nên

$f\left ( x \right )=f\left ( \lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow +\infty }f\left ( r_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow +\infty }r_{n}=x$

$\Rightarrow f\left ( x \right )=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Vậy có hai hàm thõa mãn yêu cầu đề bài là

$f\left ( x \right )=0,\forall x\in \mathbb{R}$

$f\left ( x \right )=x,\forall x\in \mathbb{R}$

Mình có thắc mắc này : Tại sao phải xét $f(1)=1$ và $f(1)$ khác $1$ mà tại sao không xét giá trị khác ?

Bạn có thể giải thích ở dòng bôi đỏ về   tập hợp của các biến được không ? Và tại sao  $ \frac{y}{x}=f\left ( \frac{y}{x} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

[shinichigl]

Mình có thắc mắc này : Tại sao phải xét $f(1)=1$ và $f(1)$ khác $1$ mà tại sao không xét giá trị khác ?

Bạn có thể giải thích ở dòng bôi đỏ về   tập hợp của các biến được không ? Và tại sao  $ \frac{y}{x}=f\left ( \frac{y}{x} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

Mình trả lời theo thứ tự các ý bạn hỏi

- do đề bài yêu cầu liên tục nên mình nghĩ là sẽ quy nạp từ số nguyên đến số hữu tỉ rồi đến số thực, từ đó mình chứng minh f(n)=n trên tập số nguyên, mà chứng minh cái này thì cần tính f(1), từ đó mình tìm cách tính f(1) thì nó phân ra hai trường hợp như trên.

- để quy nạp lên tập hữu tỉ thì chỉ cần $y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$ thôi

- ta có

$f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+xf\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

$f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y,\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

từ hai cái này thì suy ra được $f\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right )=\frac{y}{x},\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$,

do ở trên ta đã chứng minh được $f\left ( n \right )=n,\forall n\in \mathbb{Z}$ nên ta cũng có được

$\Rightarrow f\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right )=f\left ( \frac{y}{x} \right )=\frac{y}{x},\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 11-09-2014 - 19:56

[BlackSelena]

Chú ý rằng bài 2 hàm $f$ ko liên tục thì kq vẫn vậy

[Hoang Tung 126]

Bài 1:Tìm tất cả hàm số liên tục $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $2f(2x)=f(x)+x$ với $\forall x \in \mathbb{R}$

 

Bài 1: Ta có $2f(2x)=f(x)+x< = > 2(2f(2x)-\frac{2x}{3})=f(x)-\frac{x}{3}$

    Đặt $g(x)=f(x)-\frac{x}{3}$

-Thay  $x$ bởi $2x$ $= > g(2x)=f(2x)-\frac{2x}{3}$

 

-  Từ đó $2g(2x)=g(x)= > g(2x)=\frac{g(x)}{2}$ (1)

 

-Thay $x$ bởi $\frac{x}{2}$ vào (1) $= > g(x)=\frac{g(\frac{x}{2})}{2}$

 

-Từ đó $g(x)=\frac{g(\frac{x}{2})}{2}=\frac{g(\frac{x}{2^2})}{2^2}=....=\frac{g(\frac{x}{2^n})}{2^n}$ với n nguyên dương.

 

-Do  tính liên tục của hàm $f$ nên hàm $g$ liên tục trên $R$

 

-Từ đó cho $n\rightarrow +\infty$ $= > g(x)=\frac{g(\frac{x}{2})}{2}=...=\frac{g(\frac{x}{2^n})}{2^n}=g(0)$

 

-Do đó $f(x)=g(x)+\frac{x}{3}=g(0)+\frac{x}{3}=c+\frac{x}{3}$

 

-Thay vào đề bài ta tìm được $c=0$

 

      Vậy  $f(x)=\frac{x}{3}$

[caybutbixanh]

Mình trả lời theo thứ tự các ý bạn hỏi

- do đề bài yêu cầu liên tục nên mình nghĩ là sẽ quy nạp từ số nguyên đến số hữu tỉ rồi đến số thực, từ đó mình chứng minh f(n)=n trên tập số nguyên, mà chứng minh cái này thì cần tính f(1), từ đó mình tìm cách tính f(1) thì nó phân ra hai trường hợp như trên.

- để quy nạp lên tập hữu tỉ thì chỉ cần $y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$ thôi

- ta có

$f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+xf\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right ),\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

$f\left ( x+y \right )=f\left ( x \right )+y,\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

từ hai cái này thì suy ra được $f\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right )=\frac{y}{x},\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$,

do ở trên ta đã chứng minh được $f\left ( n \right )=n,\forall n\in \mathbb{Z}$ nên ta cũng có được

$\Rightarrow f\left ( \frac{y}{f\left ( x \right )} \right )=f\left ( \frac{y}{x} \right )=\frac{y}{x},\forall y\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{N}^{*}$

Quên mất, mình còn điều này chưa hiểu :Đó là tại sao cần chứng minh $f(n)=n$ mà không phải là $f(n)=an$ (a tùy ý ) hay $f(n)=an+b$ hoặc $f(n)=a^{n}$ ( a là số dương ).....Phần phương trình hàm này mình còn yếu nên hỏi hơi nhiều...........mong bạn thông cảm.....

[caybutbixanh]

Bài 1: Ta có $2f(2x)=f(x)+x< = > 2(2f(2x)-\frac{2x}{3})=f(x)-\frac{x}{3}$

    Đặt $g(x)=f(x)-\frac{x}{3}$

-Thay  $x$ bởi $2x$ $= > g(2x)=f(2x)-\frac{2x}{3}$

 

-  Từ đó $2g(2x)=g(x)= > g(2x)=\frac{g(x)}{2}$ (1)

 

-Thay $x$ bởi $\frac{x}{2}$ vào (1) $= > g(x)=\frac{g(\frac{x}{2})}{2}$

 

-Từ đó $g(x)=\frac{g(\frac{x}{2})}{2}=\frac{g(\frac{x}{2^2})}{2^2}=....=\frac{g(\frac{x}{2^n})}{2^n}$ với n nguyên dương.

 

-Do  tính liên tục của hàm $f$ nên hàm $g$ liên tục trên $R$

 

-Từ đó cho $n\rightarrow +\infty$ $= > g(x)=\frac{g(\frac{x}{2})}{2}=...=\frac{g(\frac{x}{2^n})}{2^n}=g(0)$

 

-Do đó $f(x)=g(x)+\frac{x}{3}=g(0)+\frac{x}{3}=c+\frac{x}{3}$

 

-Thay vào đề bài ta tìm được $c=0$

 

      Vậy  $f(x)=\frac{x}{3}$

Bạn có thể cho mình biết phân tích làm thế nào để có được dòng đầu tiên vậy ? 

[Hoang Tung 126]

Bạn có thể cho mình biết phân tích làm thế nào để có được dòng đầu tiên vậy ? 

đầu tiên bạn thử rồi tìm được hàm rồi thay vào thôi