ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN YÊN BÁI DỰ THI CẤP TỈNH
Lớp 11
Ngày 1
Câu 1: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5}=(x^2+2x-6)(x^3+4)(1) & \\ x+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{y^2} (2) & \end{matrix}\right.$
Câu 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}=6$. Chứng minh rằng
$\sqrt{\frac{a}{a+4bc}}+\sqrt{\frac{b}{b+9ac}}+\sqrt{\frac{c}{c+16ab}} \leq \frac{3}{2}$
Câu 3: Cho $a,b,c,d,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $ab=cd$ Chứng minh rằng số $A=a^{2n+1}+b^{2m+1}+c^{2n+1}+d^{2m+1}$ là hợp số
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm M nằm trong tam giác. $MA,MB,MC$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $A_1,B_1,C_1$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_2,B_2,C_2$. Chứng minh $A_2,B_2,C_2$ thẳng hàng
Ngày 2
Câu 1: Cho dãy số $(u_n)^{+\infty}_{n=1}$ thỏa mãn
$i) u_n+\frac{n}{u_n}=u_{n+1}$
$ii) u_1=\alpha >0$
Tìm $\lim_{n \rightarrow +\infty$}\frac{u_n}{n}$
Câu 2: Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$. $I_1, I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác$ AEF$ và $BDF$. $O_1, O_2 $là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACI_1$ và $BCI_2$. Chứng minh rằng $I_1I_2//O_1O_2$
Câu 3: Cho 5 điểm $A,B,C,D,E$ thuộc mặt phẳng $Oxy$. Biết mỗi điểm đều có tọa độ là các số nguyên. Chứng minh có ít nhất 3 tam giác mà diện tích là số nguyên
Câu 4: Cho $a,b,c$ là các số thực có tổng bằng 3. Chứng minh rằng
$\sum_{a,b,c}\frac{1}{a^2} \ge$ $\sum a^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-09-2014 - 20:19