Chủ đề này có 12 trả lời

[deathavailable]

 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN YÊN BÁI DỰ THI CẤP TỈNH

Lớp 11

Ngày 1

Câu 1: Giải hệ phương trình 
$\left\{\begin{matrix} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5}=(x^2+2x-6)(x^3+4)(1) & \\ x+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{y^2}     (2) & \end{matrix}\right.$
 
Câu 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}=6$. Chứng minh rằng
 
$\sqrt{\frac{a}{a+4bc}}+\sqrt{\frac{b}{b+9ac}}+\sqrt{\frac{c}{c+16ab}} \leq \frac{3}{2}$
 
Câu 3: Cho $a,b,c,d,m,n$ là các số nguyên dương sao cho $ab=cd$ Chứng minh rằng số $A=a^{2n+1}+b^{2m+1}+c^{2n+1}+d^{2m+1}$ là hợp số
 
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm M nằm trong tam giác. $MA,MB,MC$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $A_1,B_1,C_1$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_2,B_2,C_2$. Chứng minh $A_2,B_2,C_2$ thẳng hàng 
 

Ngày 2

Câu 1: Cho dãy số $(u_n)^{+\infty}_{n=1}$ thỏa mãn
$i) u_n+\frac{n}{u_n}=u_{n+1}$ 
$ii) u_1=\alpha >0$ 
Tìm $\lim_{n \rightarrow +\infty$}\frac{u_n}{n}$
 
Câu 2: Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$. $I_1, I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác$ AEF$ và $BDF$. $O_1, O_2 $là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACI_1$ và $BCI_2$. Chứng minh rằng $I_1I_2//O_1O_2$
 
Câu 3: Cho 5 điểm $A,B,C,D,E$ thuộc mặt phẳng $Oxy$. Biết mỗi điểm đều có tọa độ là các số nguyên. Chứng minh có ít nhất 3 tam giác mà diện tích là số nguyên
 
Câu 4: Cho $a,b,c$ là các số thực có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 
 
$\sum_{a,b,c}\frac{1}{a^2} \ge$ $\sum a^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 15-09-2014 - 20:19

[chardhdmovies]

Ngày 2

 

 

Câu 4: Cho $a,b,c$ là các số thực có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 

 

$\sum_{a,b,c}\frac{1}{a^2} $ $\ge$ $\sum a^2$

 

ta có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}$

nên ta cần chứng minh $\frac{3}{abc}\geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3$

ta có $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc\Rightarrow abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{9}$

$\Rightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{9}(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{9}\frac{[2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2]^3}{27}=3$

do đó có đpcm

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 11-09-2014 - 16:09

[chardhdmovies]

 

 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN YÊN BÁI DỰ THI CẤP TỈNH

Lớp 11

Ngày 1

 

Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. Điểm M nằm trong tam giác. $MA,MB,MC$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $A_1,B_1,C_1$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $A_2,B_2,C_2$. Chứng minh $A_2,B_2,C_2$ thẳng hàng 

 

 

ta có $\frac{\overline{A_2B}}{\overline{A_2C}}=\frac{A_2B}{A_2C}=(\frac{A_1B}{A_1C})^2$

mấy cái kí tương tự nên ta có $\frac{\overline{A_2B}}{\overline{A_2C}}.\frac{\overline{B_2C}}{\overline{B_2A}}.\frac{\overline{C_2A}}{\overline{C_2B}}=(\frac{A_1B}{A_1C}.\frac{B_1C}{B_1A}.\frac{C_1A}{C_1B})^2$

mà $\frac{A_1B}{A_1C}.\frac{B_1C}{B_1A}.\frac{C_1A}{C_1B}=\frac{A_1B}{B_1A}.\frac{B_1C}{BC_1}.\frac{C_1A}{CA_1}=\frac{MB}{MA}.\frac{MC}{MB}.\frac{MA}{MC}=1$

$\Rightarrow \frac{\overline{A_2B}}{\overline{A_2C}}.\frac{\overline{B_2C}}{\overline{B_2A}}.\frac{\overline{C_2A}}{\overline{C_2B}}=1$

do đó theo định lí $menelaus$ có $Q.E.D$

 

NTP

[deathavailable]

ta có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{3}{abc}$

nên ta cần chứng minh $\frac{3}{abc}\geq a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3$

ta có $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=3abc$ $\Rightarrow abc\leq \frac{(ab+bc+ca)^2}{3}$

$\Rightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{3}(ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{1}{3}\frac{[2(ab+bc+ca)+a^2+b^2+c^2]^3}{27}=3$

do đó có đpcm

 

NTP

Mình thấy ý tưởng rất hay tuy nhiên cần xem xét chỗ bôi đỏ Cám ơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 11-09-2014 - 12:45

[chardhdmovies]

 

 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN YÊN BÁI DỰ THI CẤP TỈNH

Lớp 11

Ngày 1

Câu 1: Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix} 6x^2\sqrt{x^3-6x+5}=(x^2+2x-6)(x^3+4)(1) & \\ x+\frac{2}{x}=1+\frac{2}{y^2}     (2) & \end{matrix}\right.$

xem ở đây

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 11-09-2014 - 16:19

[chardhdmovies]

 

 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHUYÊN YÊN BÁI DỰ THI CẤP TỈNH

Lớp 11

Ngày 1

 

 

Câu 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}=6$. Chứng minh rằng

 

$\sqrt{\frac{a}{a+4bc}}$+$\sqrt{\frac{b}{b+9ac}}+\sqrt{\frac{c}{c+16ab}} \leq$ $\frac{3}{2}$

đặt $a=\frac{1}{3x};b=\frac{1}{2y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow x+y+z=6$

do đó ta tìm $max$ của $\sum \sqrt{\frac{a}{a+4bc}}=\sum \sqrt{\frac{yz}{yz+6x}}=\sum \sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}}\leq \frac{1}{2}\sum (\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z})=\frac{3}{2}$

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 11-09-2014 - 16:19

[Juliel]

Câu 2: Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$. $I_1, I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác$ AEF$ và $BDF$. $O_1, O_2 $là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACI_1$ và $BCI_2$. Chứng minh rằng $I_1I_2//O_1O_2$

Lời giải :

 

Ta có thể chứng minh được tứ giác $I_1ABI_2$ nội tiếp. Ta gọi $K$ là giao điểm thứ hai của $(BCI_2),(ACI_1)$.

Khi đó để ý ba đường thẳng $AI_1,BI_2,CK$ tương ứng là trục đẳng phương của lần lượt từng cặp $(AI_1I_2B),(ACI_1)$ ; $(AI_1I_2B),(BCI_2)$ ; $(BCI_2),(ACI_1)$. Nên $AI_1,BI_2,CK$ sẽ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Hơn nữa $AI_1,BI_2$ chình là hai phân giác của tam giác $ABC$ nên $CK$ sẽ là phân giác thứ ba của tam giác $ABC$.

Gọi $S,T$ là giao điểm của $I_2K$ với $AB,AC$. Ta có :

$$\angle AST=\angle SBI_2+\angle SI_2B=\dfrac{\angle B}{2}+\angle KCB=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$$

Tương tự cũng được $\angle ATS=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$. Như vậy $\angle AST=\angle ATS$, tức tam giác $ATS$ cân tại $A$. Mà $AI_1$ là phân giác góc $A$ của tam giác này nên nó cũng sẽ là đường cao.

Tức là $AI_1$ vuông góc $I_2K$. Tương tự $BI_2$ vuông góc $I_1K$.

Do $AI_1,BI_2,CK$ đồng quy nên trong tam giác $I_1I_2K$ thì $CK$ sẽ là đường cao thứ ba. Tức là $CK\perp I_1I_2$.

Nhưng lại có $CK\perp O_1O_2$ do $CK$ là trục đẳng phương của $(BCI_2),(ACI_1)$. Ta được $I_1I_2$ song song $O_1O_2$.

 

P.S : Chỗ chứng minh tứ giác $AI_1I_2B$ nội tiếp nói là chứng minh được nhưng mình cũng chưa tìm cách thuần túy hình học cho nó, chỉ mới chứng minh được bằng lượng giác thôi

[deathavailable]

Lời giải :

YBTST.JPG

 

Ta có thể chứng minh được tứ giác $I_1ABI_2$ nội tiếp. Ta gọi $K$ là giao điểm thứ hai của $(BCI_2),(ACI_1)$.

Khi đó để ý ba đường thẳng $AI_1,BI_2,CK$ tương ứng là trục đẳng phương của lần lượt từng cặp $(AI_1I_2B),(ACI_1)$ ; $(AI_1I_2B),(BCI_2)$ ; $(BCI_2),(ACI_1)$. Nên $AI_1,BI_2,CK$ sẽ đồng quy tại tâm đẳng phương của ba đường tròn.

Hơn nữa $AI_1,BI_2$ chình là hai phân giác của tam giác $ABC$ nên $CK$ sẽ là phân giác thứ ba của tam giác $ABC$.

Gọi $S,T$ là giao điểm của $I_2K$ với $AB,AC$. Ta có :

$$\angle AST=\angle SBI_2+\angle SI_2B=\dfrac{\angle B}{2}+\angle KCB=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$$

Tương tự cũng được $\angle ATS=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}$. Như vậy $\angle AST=\angle ATS$, tức tam giác $ATS$ cân tại $A$. Mà $AI_1$ là phân giác góc $A$ của tam giác này nên nó cũng sẽ là đường cao.

Tức là $AI_1$ vuông góc $I_2K$. Tương tự $BI_2$ vuông góc $I_1K$.

Do $AI_1,BI_2,CK$ đồng quy nên trong tam giác $I_1I_2K$ thì $CK$ sẽ là đường cao thứ ba. Tức là $CK\perp I_1I_2$.

Nhưng lại có $CK\perp O_1O_2$ do $CK$ là trục đẳng phương của $(BCI_2),(ACI_1)$. Ta được $I_1I_2$ song song $O_1O_2$.

 

P.S : Chỗ chứng minh tứ giác $AI_1I_2B$ nội tiếp nói là chứng minh được nhưng mình cũng chưa tìm cách thuần túy hình học cho nó, chỉ mới chứng minh được bằng lượng giác thôi

Mình cũng chứng minh cho $AI_1I_2B$ nội tiếp ) nối $FI_2, FI_1$ ta chứng minh cho $\angle BI_2I_1$+$\angle I_1AB$ có $\angle BI_2I_1=\angle BI_2F+\angle FI_2I_1$ suy ra $\angle FI_2I_1=\angle ADF$ điều này có thể dễ cm bằng tam giác đồng dạng ) 
 

Gọi giao điểm của $AI_1, BI_2,AK$ là $N$ thì ta chứng minh $\angle I_2I_1C+\angle NCI_1=90^o$

Luôn đúng  vì $\angle I_2I_1C=\frac{\angleB+\angle A}{2}+\angle I_1CA$=$90$ ĐPCM 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 12-09-2014 - 00:36

[mathandyou]

Bài hìnhhttp://cuoichutdi.wo...rtlist-2012-g3/

[complex function]

 

 

Câu 2: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $\frac{1}{3a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{c}=6$. Chứng minh rằng
 
$\sqrt{\frac{a}{a+4bc}}+\sqrt{\frac{b}{b+9ac}}+\sqrt{\frac{c}{c+16ab}} \leq \frac{3}{2}$
 

Hình như trong đề có nhầm lẫn. Số 16 là 36 thì phải.???????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi complex function: 19-09-2014 - 20:32

[deathavailable]

Hình như trong đề có nhầm lẫn. Số 16 là 36 thì phải.???????

Là 16 nhé bạn ) theo kiểu $2^2=4, 3^2=9, 4^2=16$ là đúng rồi  

[complex function]

Là 16 nhé bạn ) theo k iểu $2^2=4, 3^2=9, 4^2=16$ là đúng rồi

Nếu là số 16 thì bdt sai khi $a=\frac{1}{6}, b=\frac{1}{4}, c=\frac{1}{2}$. Lúc đó   $VT = \frac{7+\sqrt{21}}{7} > \frac{3}{2}$

[deathavailable]

Câu hỏi của bạn chardhdmovies rất hay. Để trả lời câu hỏi của bạn mình xin đưa ra một ví dụ như sau

Ví dụ khi ta có $xyz=x+y+z+2$ thì ta có thể đặt $x=\frac{b+c}{a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$

Vì khi $xyz=x+y+z+2$ thì ta sẽ có : $$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}=1(*)$$

Từ đó tồn tại $a,b,c$ sao cho $\frac{1}{1+x}=\frac{a}{a+b+c},\frac{1}{1+y}=\frac{b}{a+b+c},\frac{1}{1+z}=\frac{c}{a+b+c}$

Từ đó suy ra $x=\frac{b}{c+a},y=\frac{c+a}{b},z=\frac{a+b}{c}$

Spoiler

Chỗ (*) bạn quy đồng và khai triển ra sẽ có $xyz=x+y+z+2$, mấy cái kia cũng tương tự như vậy. Ý bạn là vậy hả ?

 

 

Nếu là số 16 thì bdt sai khi $a=\frac{1}{6}, b=\frac{1}{4}, c=\frac{1}{2}$. Lúc đó   $VT = \frac{7+\sqrt{21}}{7} > \frac{3}{2}$

Ờ ha ) Để mình xem lại! Cám ơn )