Cho $m,n\epsilon \mathbb{N} và m,n\neq 0$. CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1 \right )\Leftrightarrow n\vdots m$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 12-09-2014 - 20:57
Cho $m,n\epsilon \mathbb{N} và m,n\neq 0$. CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1 \right )\Leftrightarrow n\vdots m$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Du Duong: 12-09-2014 - 20:57
có $ x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)$
vậy t chỉ cần CM
$ x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\vdots \sum_{0}^{m-1}x^{i}$
đến đây để ý bên trái có n phần tử, bên phải có m phần tử
mà n $ \vdots$ m nên thực hiện phép nhóm m phần tử lại sẽ ra ĐPCM
đáng lẽ giờ này phải có mấy đứa quái vật vào giải rồi chứ nhỉ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tohoproirac: 12-09-2014 - 21:19
<3 Mãi mãi một tình yêu <3
赵薇苏有朋
có $ x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)$
vậy t chỉ cần CM
$ x^{n-1}+x^{n-2}+...+1\vdots \sum_{0}^{m-1}x^{i}$
đến đây để ý bên trái có n phần tử, bên phải có m phần tử
mà n $ \vdots$ m nên thực hiện phép nhóm m phần tử lại sẽ ra ĐPCM
đáng lẽ giờ này phải có mấy đứa quái vật vào giải rồi chứ nhỉ
Bạn chỉ mới CM được có 1 chiều là từ $n\ \vdots\ m\Rightarrow x^n-1\ \vdots\ x^m-1$. Còn thiếu chiều ngược lại nữa !!
Cho $m,n\epsilon \mathbb{N} và m,n\neq 0$. CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1 \right )\Leftrightarrow n\vdots m$
Bổ đề : $\boxed{\forall a,b,n\in\mathbb{N}\ :\ a^n-b^n=(a-b).(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})\ \vdots\ a-b.}$
CM - từ $n\ \vdots\ m\Rightarrow x^n-1\ \vdots\ x^m-1$ :
Từ $n\ \vdots\ m\Rightarrow n=k.m\ (k\in\mathbb{N})$
Ta có : $x^n-1=x^{km}-1={(x^m)}^k-1^k\ \vdots\ x^m-1$
CM - từ $x^n-1\ \vdots\ x^m-1\Rightarrow n\ \vdots\ m$ :
Xét $n=k.m+r$ với $k,r\in\mathbb{N}\ ;\ 0\le r<m$
$\Rightarrow x^{(k-1)m+r}-1\ \vdots\ x^m-1$ vì $(x^m,x^m-1)=1$.
Tiếp tục lặp lại quá trình trên, cuối cùng ta cũng suy ra : $x^r-1\ \vdots\ x^m-1$
Tóm lại, từ $x^{kn+r}-1\ \vdots\ x^m-1\Rightarrow x^r-1\ \vdots\ x^m-1$
$\Rightarrow x^r-1=0$ vì $x^r-1<x^m-1$
$\Rightarrow r=0$ tức là $n=km\ \vdots\ m$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 15-09-2014 - 10:42
Ad xóa hộ bài mình sai
xin lỗi mình ko biết xóa chỗ nào,thông cảm nha,mình mới chỉ là binh nhì
Cho $m,n\epsilon \mathbb{N} và m,n\neq 0$. CMR: $x^{n}-1\vdots \left (x^{m}-1 \right )\Leftrightarrow n\vdots m$
Cách khác: Dùng tính chất dãy $Mersenne:$ $\gcd(a^m-1,a^n-1)=a^{\gcd(m,n)}-1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 15-09-2014 - 23:39
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
i) $P(x)\geq P'(x)$ ii) $P'(x)\geq P''(x)$Bắt đầu bởi 19kvh97, 24-08-2015 đt, kim văn hùng |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$P(x^2)=P(x).P(x+2)$Bắt đầu bởi 19kvh97, 23-10-2014 đt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
$F(x)=P(x) +P'(x)+P''(x)+P'''(x)+P^{(4)}(x)>0$Bắt đầu bởi 19kvh97, 21-09-2014 đt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
CMR:$x^{4}+x^{b}+1\vdots x^{2}+x+1$Bắt đầu bởi Dung Du Duong, 14-09-2014 đt |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Đa thức →
CMR:$x^{3m}+x^{3n+1}+3^{3p+2}\vdots x^{2}+x+1$Bắt đầu bởi Dung Du Duong, 12-09-2014 đt |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh