Bài 27:Cho tam giác ABC có $\widehat{C}$ tù và $\widehat{A}$ =2$\widehat{B}$ Đường thẳng đi qua B và vuông góc BC cắt AC tại D.Gọi M là trung điểm AB.cmr $\widehat{AMC}$ =$\widehat{BMD}$
Gọi $AC=x$ ; $\widehat{ABC}=\alpha$ ; $\widehat{BAC}=2\alpha$
Định lí hàm Sin $\Delta ABC$ $\Rightarrow\frac{AC}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin2\alpha}=\frac{AB}{\sin3\alpha}$
$\Rightarrow BC=2x.\cos\alpha$ ; $AB=x(3-4\sin^2\alpha)=x(4\cos^2\alpha-1)$ ; $AM=BM=\frac{AB}{2}=\frac{x(4\cos^2\alpha-1)}{2}$
$\Delta BCD\ :\ DC=\frac{BC}{\cos3\alpha}=\frac{2x}{4\cos^2\alpha-3}\Rightarrow AD=\frac{2x}{4\cos^2\alpha-3}+x=\frac{x(4\cos^2\alpha-1)}{4\cos^2\alpha-3}$
Lấy $E\in DM$ s/c $CE//AM$. Suy ra $\widehat{ECB}=\widehat{CBA}=\alpha$ (so le trong) ; $\widehat{ECD}=\widehat{BAC}=2\alpha$ (đồng vị)
Định lí Talet $\Rightarrow\frac{EM}{ED}=\frac{CA}{CD}=\frac{4\cos^2\alpha-3}{2}=\frac{AM}{AD}$
$\Rightarrow AE$ là phân giác $\widehat{MAD}$ (T/c đường phân giác trong $\Delta$)
$\Rightarrow\widehat{CEA}\overset{\text{so le trong}}{=}\widehat{EAM}\overset{\text{t/c p.g}}{=}\widehat{EAC}$ $\Rightarrow CE=CA$ ($\Delta$ có 2 góc đáy = nên cân)
Định lí hàm Cosin $\Delta ACE$ $\Rightarrow AE^2=2x^2+2x^2.\cos2\alpha=2x^2(1+\cos2\alpha)=4x^2\cos^2\alpha$$\Rightarrow AE=2x\cos\alpha=BC$
Suy ra $ABEC$ là hình thang câm (tứ giác có 1 cặp cạnh // và 2 chéo =)
Xét $\Delta ACM=\Delta BEM$ (c.g.c) $\Rightarrow\widehat{AMC}$ =$\widehat{BMD}$. $\boxed{}$