Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

TOPIC: Các bài toán có nội dung hình học phẳng tuyển chọn


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 111 trả lời

#1 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 13:49

Để tổng hợp một số bài toán hình học phẳng bằng cách xử lý quen thuộc trong phạm vi THCS để các bạn chuẩn bị cho kỳ thi Chuyên và HSG các cấp,mình cùng bạn ChardHDmovies lập topic này để ghi lại một số bài toán hay,với cách giải chỉ trong THCS. Rất mong được các bạn ủng hộ. Trong đây có một số bài mình đăng lấy từ đề thi HSG ,Olympic và các bài hình cấp 3 nhưng vẫn có cách giải THCS. Các bạn đăng bài cũng cần các điều kiện:
1) Nếu trích trong sách thì không cần nguồn, tuy nhiên nếu bạn lấy trên các diễn đàn khác phải ghi rõ nguồn
2) Bài viết phải ghi rõ số thứ tự
3) Các bài không nhất thiết phải có hình vẽ,nhưng phải rõ cách giải hoặc hướng rõ cách giải
4) Khuyến khích các bạn nêu ý tưởng "tại sao như vậy"
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 28-09-2014 - 07:26

NgọaLong

#2 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 13:55

Bài 1: Có tồn tại hay không một tam giác mà có 2 đường trung tuyến nhỏ hơn nửa cạnh đối diện

Bài 2: Cho tam giác ABC không cân,đường trung tuyến AD, đường phân giác AE. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AE,AD,AB tại F,G,K. Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm GE


NgọaLong

#3 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 14:04

Giải bài 1: Giả sử BD và CE là 2 đường trung tuyến của tam giác ABC thỏa $BD<\frac{1}{2}AC,CE<\frac{1}{2}AB$

Ta có $BD<\frac{1}{2}AC=AD=DC=> BD<AD=DC$

Xét tam giác ABD có $BD<AD$ => $\widehat{BAD}<\widehat{ABD}(1)$

Tương tự trong tam giác DBC có $\widehat{BCD}<\widehat{DBC}(2)$

Từ (1)(2) ta có $\widehat{BAD}+\widehat{BCD}<\widehat{ABD}+\widehat{DBC}=> 180^{\circ}-\widehat{ABC}<\widehat{ABC}=> \widehat{ABC}>90^{\circ}$ (vô lý)

CMTT cho trường hợp còn lại

Ta đi tới kết luận: Không tồn tại

A-Q:)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 13-09-2014 - 14:22

NgọaLong

#4 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 14:11

Bài 3 Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đồng thời chia chu vi và diện tích tam giác thành 2 phần bằng nhau thì đường thẳng đó đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 4: ( Đề thi HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2006) Cho tam giác ABC. Đường trung tuyến AD,đường cao BH và đường phân giác CE đồng quy. Chứng minh hệ thức $(a+b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=2ab^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 13-09-2014 - 21:30

NgọaLong

#5 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 18:59

Giải bài 3: Giả sử đường thẳng MN chia tam giác ABC thành 2 phần thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix} AM+AN=MB+BC+CN\\ S_{AMN} =S_{BMNC}\end{matrix}\right.$ $(1)$

Gọi r là khoảng cách từ tâm I đến các cạnh của tam giác, ta có $(AM+AN)r=(MB+BC+CN)r=> S_{IAM}+S_{IAN}=S_{IMB}+S_{IBC}+S_{INC}(2)$

Suy ra,nếu:

+) I nằm trong tứ giác BMNC thì trừ vế theo vế của (1)và (2) ta được $-S_{IMN}=S_{IMN}$ (vô lý )

+) I nằm ngoài tứ giác BMNC thì trừ vế theo vế của (1) và (2) ta cũng được điều vô lý

Vậy I phải thuộc MN(Q.E.D)

A-Q:)


NgọaLong

#6 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 19:04

Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC. Giả sử $\widehat{BCA}\geq \widehat{ABC}+30^{\circ}$. Chứng minh rằng $\widehat{CAB}+\widehat{COH}<90^{\circ}$


NgọaLong

#7 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 13-09-2014 - 20:05

Bài 2: Cho tam giác ABC không cân,đường trung tuyến AD, đường phân giác AE. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt AE,AD,AB tại F,G,K. Chứng minh rằng DF đi qua trung điểm GE

Capture.PNG

gọi $FD\cap AC\in \left \{ H \right \}$

dễ thấy $\Delta AKC$ cân tại $A$ và $FD$ là đường trung bình $\Delta BCK$ nên $\widehat{AFH}=\widehat{KAF}=\widehat{FAC}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AH=HF\\\widehat{HFC}=\widehat{HCF} \end{matrix}\right.$ do đó $H$ là trung điểm $AC$

áp dụng đinh lí $ceva$ trong $\Delta AFC\Rightarrow \frac{EA}{EF}.\frac{GF}{GC}.\frac{HC}{HA}=1\Rightarrow \frac{EA}{EF}=\frac{GC}{GF}\Rightarrow EG//AC$

do đó dễ thấy $DF$ đi qua trung điểm $GE$

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#8 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 13-09-2014 - 20:26

Bài 3 Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đồng thời chia chu vi và diện tích tam giác thành 2 phần bằng nhau thì đường thẳng đó đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 4: ( Đề thi HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2006) Cho tam giác ABC. Đường trung tuyến AD,đường cao BH và đường phân giác CE đồng quy. Chứng minh hệ thức $(a+b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=2a^{2}b$

$3,$có thể mở rộng với tứ giác

$4,$ 

xem lại đề đi hình như là đường cao $AD$,trung tuyến $BH$ và phân giác $CE$

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 14-09-2014 - 06:22

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#9 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 13-09-2014 - 22:08

Bài 1 đâu cần phải tam giác nhọn đâu nhỉ?

 

nhầm

Bài 4: ( Đề thi HSG cấp tỉnh Thanh Hóa 2006) Cho tam giác ABC. Đường trung tuyến AD,đường cao BH và đường phân giác CE đồng quy. Chứng minh hệ thức $(a+b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=2ab^{2}$

Capture.PNG

gọi giao điểm $AD,BH,CE$ là $O$

gọi $I$ là hình chiếu từ $D$ xuống $BH$ do đó $DI=\frac{1}{2}CH$

có $\frac{DI}{AH}=\frac{DO}{AO}=\frac{DC}{AC}\Rightarrow \frac{HC}{AH}=\frac{a}{b}\Rightarrow bHC=aAH$

có $\left\{\begin{matrix} a^2=BH^2+HC^2\\b^2=AH^2+HC^2+2AH.HC \\c^2=AH^2+BH^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2-c^2)=(a+b)(2bHC)=2b(aHC+aAH)=2ab^2$

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 14-09-2014 - 06:14

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#10 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 23:01

Bài 6: Định lý Van Oben: Cho M là điểm trong tam giác ABC,AM,BM,CM cắt các cạnh đối diện lần lượt tại D,E,F. Chứng minh rằng:

$\frac{AM}{MD}=\frac{AE}{EC}+\frac{AF}{FB}$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 13-09-2014 - 23:02

NgọaLong

#11 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 13-09-2014 - 23:06

Bài 7: Cho tam giác ABC, M là điểm trong tam giác . AM,BM,CM cắt các cạnh đối diện lần lượt tại D,E,F. Chứng minh rằng trong các tỉ số $\frac{AM}{MD},\frac{BM}{ME},\frac{CM}{MF}$ có ít nhất 1 tỉ số không lớn hơn 2 và ít nhất 1 tỉ số không nhỏ hơn 2 (chỉ biết bài này sử dụng Định lý Van Oben,không biết bạn nào có cách khác)


NgọaLong

#12 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 14-09-2014 - 08:41

Bài 7: Cho tam giác ABC, M là điểm trong tam giác . AM,BM,CM cắt các cạnh đối diện lần lượt tại D,E,F. Chứng minh rằng trong các tỉ số $\frac{AM}{MD},\frac{BM}{ME},\frac{CM}{MF}$ có ít nhất 1 tỉ số không lớn hơn 2 và ít nhất 1 tỉ số không nhỏ hơn 2 (chỉ biết bài này sử dụng Định lý Van Oben,không biết bạn nào có cách khác)

Bài này có gặp trong chuyên đề hình học, hơi dài tí  :P

untitled.PNG

Dựng các đoạn thẳng song song như trên

Đầu tiên $( \frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF})(\frac{AD}{MD}+\frac{BE}{ME}+\frac{CF}{MF})\geq 9$(Bunhiacopxki)

 

Xét : $\frac{MD}{AD}=\frac{BN}{AB},~\frac{ME}{BE}=\frac{AP}{AB}$

 

và $\frac{MF}{CF}=\frac{FP}{AF}=\frac{FN}{FB}=\frac{FP+PN}{AF+FB}=\frac{FN}{AB}$ 

 

Do đó$\frac{MD}{AD}+\frac{ME}{BE}+\frac{MF}{CF}=1=>\frac{AD}{MD}+\frac{BE}{ME}+\frac{CF}{MF} \geq 9$

 

$=>\frac{MA}{MD}+\frac{BM}{ME}+\frac{CM}{MF}\geq 6$ nên ít nhất 1 tỉ không nhỏ hơn 2 

 

Lại có $1-\frac{MD}{AD}+1-\frac{ME}{BE}+1-\frac{MF}{CF}=\frac{MA}{AD}+\frac{MB}{BE}+\frac{MC}{CF}=2$

 

Tương tự cũng có $\frac{AD}{AM}+\frac{BE}{MB}+\frac{CF}{MC}\geq \frac{9}{2}$ 

 

=>$\frac{MD}{AM}+\frac{ME}{BM}+\frac{MF}{CM}\geq \frac{3}{2}$ nên ít nhất 1 tỉ số không nhỏ hơn 1/2. Do đó ít nhất 1 nghịch đảo không lớn hơn 2

=> DPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 14-09-2014 - 19:05


#13 huyhoangfan

huyhoangfan

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-09-2014 - 10:44

Bài 8:

Từ giao điểm $O$ của các đường phân giác các góc trong của $\Delta ABC$, hạ các đường vuông góc với các cạnh $BC,AC,AB$ theo thứ tự tại các điểm $D,E,F$. Kẻ $BB_1$ vuông góc với $AO,AA_1$ vuông góc với $BO$. Chứng minh rằng các điểm $A_1,B_1,D,E$ cùng nằm trên một đường thẳng.                                                                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                       (đề thi HSG toán toàn quốc 1979-1980).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyhoangfan: 14-09-2014 - 10:44


#14 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 14-09-2014 - 13:30

Bài 8:

Từ giao điểm $O$ của các đường phân giác các góc trong của $\Delta ABC$, hạ các đường vuông góc với các cạnh $BC,AC,AB$ theo thứ tự tại các điểm $D,E,F$. Kẻ $BB_1$ vuông góc với $AO,AA_1$ vuông góc với $BO$. Chứng minh rằng các điểm $A_1,B_1,D,E$ cùng nằm trên một đường thẳng.                                                                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                       (đề thi HSG toán toàn quốc 1979-1980).

Bài giải: Bài này áp dụng tính chất của tứ giác nội tiếp thôi :)

Do $\widehat{OB_1B}=\widehat{ODB}=90^{\circ}$ nên tứ giác $OB_1DB$ nội tiếp => $\widehat{BB_1D}=\widehat{BOD}=\widehat{BOF}(1)$

Ta lại có $\widehat{AB_1B}=\widehat{AA_1B}=90^{\circ}$=> Tứ giác $AA_1B_1B$ nội tiếp=>$\widehat{AB_1A_1}=\widehat{ABO}=\widehat{FBO}(2)$

Mà $\widehat{FBO}+\widehat{FOB}=90^{\circ}(3)$

Từ (1)(2)(3) suy ra $\widehat{BB_1D}+\widehat{BB_1O}+\widehat{OB_1A_1}=180^{\circ}$ hay $D,A_1,B_1$ thẳng hàng

Tương tự ta cũng có $A_1,B_1,E$ thẳng hàng Q.E.D

A-Q:)


NgọaLong

#15 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 14-09-2014 - 14:06

Bài 9: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác ABC sao cho $M$ nằm trên đoạn $AB$, $N$ nằm trên đoạn $AC$ và $P,Q$ nằm trên đoạn $BC$. Chứng minh rằng $BC \geq 3QP$. Dấu $=$ xảy ra khi nào?

Bài 10: (Cực kết bài này) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $\widehat{A}=20^{\circ}$. Trên cạnh AB lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{BDC}=30^{\circ}.$ Chứng minh rằng $AD=BC$ 


NgọaLong

#16 tuananh2000

tuananh2000

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 218 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-09-2014 - 15:01

Bài 9: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác ABC sao cho $M$ nằm trên đoạn $AB$, $N$ nằm trên đoạn $AC$ và $P,Q$ nằm trên đoạn $BC$. Chứng minh rằng $BC \geq 3QP$. Dấu $=$ xảy ra khi nào?

Bài 10: (Cực kết bài này) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, $\widehat{A}=20^{\circ}$. Trên cạnh AB lấy điểm $D$ sao cho $\widehat{BDC}=30^{\circ}.$ Chứng minh rằng $AD=BC$ 

Bài 10 : Vẽ $\bigtriangleup FBC$ đều $\rightarrow \bigtriangleup AFC = \bigtriangleup CDA$ ($g.c.g$)$\rightarrow FC=AD=BC$ ($ĐPCM$)


Live more - Be more  


#17 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 14-09-2014 - 17:42

Bài 10 : Vẽ $\bigtriangleup FBC$ đều $\rightarrow \bigtriangleup AFC = \bigtriangleup CDA$ ($g.c.g$)$\rightarrow FC=AD=BC$ ($ĐPCM$)

Quá hay! Nhưng lần sau nói rõ F thuộc mặt phẳng nào e nhé!

Một cách vẽ tam giác đều khác là $\Delta ABE$ đều sao cho E thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa C. Khí đó ta có $\Delta ADC=\Delta BCE$

A-Q:)


NgọaLong

#18 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 14-09-2014 - 18:33

Giải bài 6: (Định lý Van Oben)

Qua $A$ kẻ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BM,CM$ tại $P,Q$. Ta có 

$\frac{AM}{MD}=\frac{AQ}{DC}=\frac{AP}{BD}=\frac{AP+AQ}{BC}=\frac{AQ}{BC}+\frac{AP}{BC}=\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC} (Q.E.D)$

Hình gửi kèm

  • untitled.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 14-09-2014 - 20:42

NgọaLong

#19 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 14-09-2014 - 18:39

Bài 9: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A}=90^{\circ}$. Hình vuông $MNPQ$ nội tiếp tam giác ABC sao cho $M$ nằm trên đoạn $AB$, $N$ nằm trên đoạn $AC$ và $P,Q$ nằm trên đoạn $BC$. Chứng minh rằng $BC \geq 3QP$. Dấu $=$ xảy ra khi nào?

Capture.PNG

gọi $D$ là trung điểm $BC$ ta có $AH\leq AD=\frac{1}{2}BC$

gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$

ta có $\frac{BM}{AB}=\frac{MQ}{AH};\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$

$\Rightarrow 1=(\frac{QM}{2AH}+\frac{QM}{2AH}+\frac{MN}{BC})^3\geq \frac{27QM^2MN}{4AH^2.BC}\geq \frac{27PQ^3}{4.(\frac{BC}{2})^2.BC}\Rightarrow BC\geq 3PQ$

dấu bằng xảy ra khi $\Delta ABC$ vuông cân

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#20 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 14-09-2014 - 18:50

Cách giải rất hay!

Xin góp thêm 1 cách khác không dùng đường phụ (mượn hình của bạn:) )

Ta có $MNPQ$ là hình vuông nên $\Delta ABC \sim QBM\sim PNC=>\frac{BQ}{MQ}=\frac{AB}{AC},\frac{PC}{PN}=\frac{AC}{AB}=> BC=BQ+QP+PC=QP(\frac{BQ}{PQ}+1+\frac{PC}{QP})=QP(\frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB}+1)\geq QP(1+2)=3QP$

Dấu $=$ xảy ra khi tam giác $ABC$ vuông cân ở $A$

A-Q:)


NgọaLong




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh