Chủ đề này có 1 trả lời

[davidsilva98]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm số $f:\left ( 0;+\infty \right )\rightarrow \left ( 0;+\infty \right )$ thỏa

$$f\left ( \frac{f\left ( x \right )}{f\left ( y \right )} \right )=\frac{1}{y}.f\left ( f(x) \right )$$ 

với $f$ là hàm đơn điệu nghiệm ngặt trên $\left ( 0;+\infty \right )$

[Juliel]

Bài toán: Tìm tất cả các hàm số $f:\left ( 0;+\infty \right )\rightarrow \left ( 0;+\infty \right )$ thỏa

$$f\left ( \frac{f\left ( x \right )}{f\left ( y \right )} \right )=\frac{1}{y}.f\left ( f(x) \right )\;\;\;\;(1)$$ 

với $f$ là hàm đơn điệu nghiệm ngặt trên $\left ( 0;+\infty \right )$

Lời giải :

 

Trong $(1)$ cho $y=1$ :

$$f\left ( \frac{f(x)}{f(1)} \right )=f(f(x)),\;\forall x> 0$$

Do $f$ đơn điệu nên $f$ đơn ánh, suy ra :

$$\dfrac{f(x)}{f(1)}=f(x),\;\forall x> 0\Rightarrow f(1)=1$$

Trong $(1)$ cho $x=y$ và sử dụng $f(1)=1$ ta được :

$$f(f(x))=x,\;\forall x> 0$$

Từ đây suy ra được $f$ là toàn ánh.

Trong $(1)$ thay $x=1$ :

$$f\left ( \dfrac{1}{f(y)} \right )=\dfrac{1}{y},\;\forall x> 0$$

Nên $(1)$ được viết lại dưới dạng :

$$f\left ( \frac{f(x)}{f(y)} \right )=\dfrac{f(f(x))}{y}=f(f(x)).f\left ( \dfrac{1}{f(y)} \right ),\;\forall x,y> 0$$

Do $f$ toàn ánh nên :

$$f(xy)=f(x)f(y),\;\forall x,y> 0$$

Vì $f$ đơn điệu nên $f$ liên tục, suy ra :

$$f(x)=x^a,\;\forall x> 0$$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=1$. Vậy hàm thỏa đề là :

$$f(x)=x,\;\forall x\in \left ( 0,+\infty \right )$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 14-09-2014 - 21:36