Đến nội dung

Hình ảnh

$2.\left ( a+1 \right ).\left (b+1 \right ).\left ( c+1 \right )\geq abc$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
terencetao25

terencetao25

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

1. Cho $a,b,c>0$ CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}$$\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

2.Cho $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.CMR:$2.\left ( a+1 \right ).\left (b+1 \right ).\left ( c+1 \right )\geq abc$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 29-05-2015 - 17:34


#2
Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Bài 2:Thân gửi bạn của tôi
Do $a^2+b^2+c^2=1$ nên $a, b, c \in [-1;1] \Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1) \geq 0 $ 
Trường hợp 1: $abc<0$
Dễ thấy $2(a+1)(b+1)(c+1) \geq 0 > abc$ (đpcm)
Trường hợp 2:$abc \geq 0$
Đặt $p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc \geq 0  \Rightarrow a^2+b^2+c^2=p^2-2q=1 \Rightarrow 2q=p^2-1$
Ta có:$(a+1)(b+1)(c+1)=p+q+r+1$
BĐT trên tương đương với:$2p+2q+2r+2 \geq r \Leftrightarrow 2p+p^2-1+r+2 \geq 0 \Leftrightarrow (p+1)^2+r \geq 0 $(đúng do $r \geq 0$ ) 



#3
Pham Quoc Thang

Pham Quoc Thang

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Bài 1:Tớ đã thấy bài này trên Sáng Tạo BĐT của Phạm Kim Hùng trang số 85.Tớ sẽ trích lời giải đó lại
Bài toán tổng quát:Với mọi số dương a, b, c và với mọi $ s \geq t \geq 0$ thì: $\sum\frac{a^s}{b^s+c^s} \geq \sum\frac{a^t}{b^t+c^t} $
Bằng cách đó ta sẽ chứng minh hàm số sau đây đơn điệu theo $x \geq 0$
$$f(x)=\sum\frac{a^x}{b^x+c^x} $$
Ta có:$f'(x)=\sum_{sym}a^xb^x(a^x-b^x)(lna-lnb)\frac{2c^x+a^x+b^x}{(b^x+c^x)^2(a^x+b^x)^2} \geq 0 $
$ \Rightarrow $ Hàm $f(x)$ đơn điệu tăng theo $x \geq 0$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$



#4
terencetao25

terencetao25

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết

Cảm ơn sư phụ nha. :lol:



#5
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

1. Cho $a,b,c>0$ CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}$$\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Cách khác

Xét hiệu 

$VT-VP=\sum \begin{pmatrix} \frac{a^2}{b^2+c^2}-\frac{a}{b+c} \end{pmatrix}=\sum ab(a-b)\begin{pmatrix} \frac{1}{(b+c)(b^2+c^2)}-\frac{1}{(c+a)(c^2+a^2)} \end{pmatrix}$

Khi ta giả sử $a\geq b\geq c$ thì $VT\geq VP$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh