Chủ đề này có 4 trả lời

[meoluoi123]

Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn: x + y + z + xyz = 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = xy + yz + zx

[nguyenhongsonk612]

Sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 15-09-2014 - 10:55

[Bui Ba Anh]

Tớ nghĩ đề bài phải là tìm $\textrm {max}$ của $P=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}$

Từ giả thiết $\Rightarrow \sum \frac{1}{x+2}=1$

Đặt $x=\frac{2m}{n+p};y=\frac{2n}{p+m};z=\frac{2p}{m+n}$

$\Rightarrow P=\sum 2\sqrt{\frac{mn}{(n+p)(p+m)}}$

Áp dụng BĐT $\textrm {AM-GM}$ ta có

$P\leq \sum \begin{pmatrix} \frac{m}{p+m}+\frac{n}{n+p} \end{pmatrix}=3$

Vậy $P \textrm {max} =3$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=1$

Hình như từ giả thiết đâu suy ra được dòng 2

Có lẽ bạn nhầm lẫn với bài cho $xy+yz+xz+xyz=4$ thì phải 

[nguyenhongsonk612]

Hình như từ giả thiết đâu suy ra được dòng 2

Có lẽ bạn nhầm lẫn với bài cho $xy+yz+xz+xyz=4$ thì phải 

Ấy chết nhìn nhầm giả thiết, sr nha. Để tớ xóa! 

[dogsteven]

Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn: x + y + z + xyz = 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P = xy + yz + zx

 

Giả sử $x=\text{min{x;y;z}} \Rightarrow 0\leqslant x\leqslant 1$

 

Tồn tại $t\geqslant 0$ thỏa $x+2t+xt^2=4$

 

Ta có $2t-y-z=x(yz-t^2)$

 

Giả sử $y+z <2t \Rightarrow yz > t^2\;\;(1)$

 

Ta lại có $4t^2 > (y+z)^2 \geqslant 4yz \Rightarrow t^2 > yz\;\;$ Mâu thuẫn với $(1)$

 

Vậy $y+z \geqslant 2t \Rightarrow yz \leqslant t^2$

 

$f(x;y;z)=xy+yz+zx$

$f(x;t;t)=2tx+t^2$

 

$f(x;y;z)-f(x;t;t)=x(y+z-2t)+yz-t^2=(1-x^2)(yz-t^2) \leqslant 0$

 

$\Leftrightarrow f(x;y;z) \leqslant f(x;t;t)$

 

Ta có $x=\dfrac{4-2t}{t^2+1} \geqslant 0 \Leftrightarrow 0\leqslant t \leqslant 2$

 

$f(x;t;t)=f(\dfrac{4-2t}{t^2+1}; t; t)=\dfrac{(t-2)(t^3+2t^2-3t+2)}{t^2+1}+4 \leqslant 4$

 

$\text{max f(x;y;z)}=4 \Leftrightarrow (x;y;z)=(0;2;2),(2;0;2), (2;2;0)$