giải bất phương trình $\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2x})\leq 1-2x-x^2$
$\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2x})\leq 1-2x-x^2$
#1
Đã gửi 15-09-2014 - 21:24
#2
Đã gửi 16-09-2014 - 09:22
giải bất phương trình $\sqrt{1+x^2}(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{2x})\leq 1-2x-x^2$
Bài này có nghiệm hay đấy
Đk pt : $0\leq x\leq 1$
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=\sqrt{2x} \\ b=\sqrt{1-x^{2}} \end{matrix}\right.$
$a\geq 0,b\geq 0$
BPT <=> $\sqrt{2-b^{2}}(b+a)\leq b^{2}-a^{2}$
Do $(b+a)$ luôn > 0 với x thuộc đoạn $[0;1]$ > nên ta có quyền chia cả 2 về cho $(b+a)$ mà BPT ko đổi dấu
=> $\sqrt{2-b^{2}}\leq (b-a)$ (*)
Thay a,b vào lại
(*) <=> $\sqrt{2x}\leq \sqrt{1-x^{2}}-\sqrt{x^{2}+1}$
Đến đây giải bình thường
<=>$\sqrt{2x}+\sqrt{1+x^{2}}\leq \sqrt{1-x^{2}}$
<=>$2x^{2}+2x+2\sqrt{2x^{3}+2x}\leq 0$
<=>$\sqrt{2x^{3}+2x}\leq -(x^{2}+x)$
$\left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 0\\ x(x^{3}+x-2)\geq 0 \end{matrix}\right.$
<=>$\left\{\begin{matrix} -1\leq x\leq 0\\ \begin{bmatrix} x\leq 0\\ x\geq 1 \end{bmatrix} \end{matrix}\right.$
So sánh điều kiện ban đầu kết luận BPT có nghiệm duy nhất $x=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wtuan159: 16-09-2014 - 09:23
Trí tưởng tượng quan trọng hơn tri thức.Vì tri thức chỉ có giới hạn còn trí tưởng tượng bao trùm cả thế giới.(Einstein)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh