Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

USA NIMO (Monthly Contest #15)

usa nimo monthly contest 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 16-09-2014 - 15:50

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là [email protected]$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương [email protected]$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 16-09-2014 - 16:09

^^~

#2 davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Hình học, bất đẳng thức

Đã gửi 16-09-2014 - 17:19

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$. $(1)$

Proposed by David Altizio

 

Ta có: $$f(n^{2})=n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$$

$\Rightarrow VT(1)=2015(1^{2}-1+1)(1^{2}+1+1)...(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$

 

Lại có: $$n^{2}+n+1=(n+1)^{2}-(n+1)+1$$

$\Rightarrow VT(1)=2015.(1^{2}+1+1)^{2}.(2^{2}+2+1)^{2}...\begin{bmatrix} (n-1)^{2}+(n-1)+1 \end{bmatrix}^{2}.(n^{2}+n+1)$

 

$\Rightarrow VT(1)=2015\begin{bmatrix} f(1)f(2)...f(n) \end{bmatrix}^{2}.\frac{1}{n^{2}+n+1}$

 

Theo giả thiết đề bài ta được: 

$$\frac{2015}{n^{2}+n+1}\geq 1\Leftrightarrow n^{2}+n+1\leq 2015\Leftrightarrow n\leq 44$$

 

Vậy giá trị lớn nhất của $n$ là $44$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 16-09-2014 - 17:37


#3 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 13-12-2014 - 19:28

Ta có: $$f(n^{2})=n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$$

$\Rightarrow VT(1)=2015(1^{2}-1+1)(1^{2}+1+1)...(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$

 

Lại có: $$n^{2}+n+1=(n+1)^{2}-(n+1)+1$$

$\Rightarrow VT(1)=2015.(1^{2}+1+1)^{2}.(2^{2}+2+1)^{2}...\begin{bmatrix} (n-1)^{2}+(n-1)+1 \end{bmatrix}^{2}.(n^{2}+n+1)$

 

$\Rightarrow VT(1)=2015\begin{bmatrix} f(1)f(2)...f(n) \end{bmatrix}^{2}.\frac{1}{n^{2}+n+1}$

 

Theo giả thiết đề bài ta được: 

$$\frac{2015}{n^{2}+n+1}\geq 1\Leftrightarrow n^{2}+n+1\leq 2015\Leftrightarrow n\leq 44$$

 

Vậy giá trị lớn nhất của $n$ là $44$

 

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là [email protected]$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương [email protected]$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 1 :   

            Ta dễ dàng tính được :         $\left\{\begin{matrix} AH=12 & & & \\ BH=5 & & & \\ CH=9 & & & \\ DH=\sqrt{45} & & & \end{matrix}\right.$        

                                                  ( trong đó H là giao điểm của $ AD$ và $BC$ )  

 

Từ đó tính được    :      $AD=12-\sqrt{45}=m-\sqrt{n}$  

 

Ta suy ra   :                 $m=12 , n=45$    suy ra  :      $100m+n=1245$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#4 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 13-12-2014 - 19:47

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là [email protected]$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương [email protected]$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 4 :      Ta có :      $\widehat{ADE}=\widehat{DAE}=\widehat{CBE}=\widehat{BCE}=75^{0}$

 

         Từ đó suy ra :    $\widehat{DEA}=30^{0}$

 

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADE :        

                                                              $AD=4.cos{75}=\sqrt{6}+\sqrt{4}$

Tiếp :   áp dụng  định lí cos cho tam giác ADB  : 

                                    $AB^{2}=104-12\sqrt{12}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=104 & & \\ b=-12 & & \\ c=12 & & \end{matrix}\right.$

 

Từ đây suy ra :     $a+b+c=104-12+12=104$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#5 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 14-12-2014 - 11:02

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là [email protected]$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương [email protected]$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 3 :  Vì $\left | T \right |$  là số phần tử của tất cả các tập hợp của $A=\begin{Bmatrix} 1,2,,...,2014 \end{Bmatrix}$ 

Nên  ta sẽ có tổng sau :    

                      

                             $2014.i^{1}+C^{2}_{2014}.i^{2}+...+C^{2014}_{2014}.i^{2014}$ (*)

 

Nhận xét  : 1.     $i^{k}+i^{2014-k}=i^{k}(1+(-1)^{1007-k})\Rightarrow i^{k}+i^{2014-k}=0$ (   với $k$ là số chẵn )  

 

                    2.      $i^{2k+1}+i^{2013-2k}=i(i+1).(-1)^{k}$

 

Từ đó (*) viết lại :           $(C^{1}_{2014}-C^{3}_{2014}+...+C^{2013}_{2014})i(i+1)$

 

Từ đây ta tính được   :        $\begin{bmatrix} p=2^{2013} & \\ q=-2^{2013} & \end{bmatrix}$ 

 

Vậy số dư là   :  0  

  

P/s :  Không biết có đúng không nhưng ý tưởng là như thế !  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 14-12-2014 - 11:03

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh