Đến nội dung

Hình ảnh

USA NIMO (Monthly Contest #15)

usa nimo monthly contest 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là $f@$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương $f@$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 16-09-2014 - 16:09

^^~

#2
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$. $(1)$

Proposed by David Altizio

 

Ta có: $$f(n^{2})=n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$$

$\Rightarrow VT(1)=2015(1^{2}-1+1)(1^{2}+1+1)...(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$

 

Lại có: $$n^{2}+n+1=(n+1)^{2}-(n+1)+1$$

$\Rightarrow VT(1)=2015.(1^{2}+1+1)^{2}.(2^{2}+2+1)^{2}...\begin{bmatrix} (n-1)^{2}+(n-1)+1 \end{bmatrix}^{2}.(n^{2}+n+1)$

 

$\Rightarrow VT(1)=2015\begin{bmatrix} f(1)f(2)...f(n) \end{bmatrix}^{2}.\frac{1}{n^{2}+n+1}$

 

Theo giả thiết đề bài ta được: 

$$\frac{2015}{n^{2}+n+1}\geq 1\Leftrightarrow n^{2}+n+1\leq 2015\Leftrightarrow n\leq 44$$

 

Vậy giá trị lớn nhất của $n$ là $44$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 16-09-2014 - 17:37


#3
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Ta có: $$f(n^{2})=n^{4}+n^{2}+1=(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$$

$\Rightarrow VT(1)=2015(1^{2}-1+1)(1^{2}+1+1)...(n^{2}-n+1)(n^{2}+n+1)$

 

Lại có: $$n^{2}+n+1=(n+1)^{2}-(n+1)+1$$

$\Rightarrow VT(1)=2015.(1^{2}+1+1)^{2}.(2^{2}+2+1)^{2}...\begin{bmatrix} (n-1)^{2}+(n-1)+1 \end{bmatrix}^{2}.(n^{2}+n+1)$

 

$\Rightarrow VT(1)=2015\begin{bmatrix} f(1)f(2)...f(n) \end{bmatrix}^{2}.\frac{1}{n^{2}+n+1}$

 

Theo giả thiết đề bài ta được: 

$$\frac{2015}{n^{2}+n+1}\geq 1\Leftrightarrow n^{2}+n+1\leq 2015\Leftrightarrow n\leq 44$$

 

Vậy giá trị lớn nhất của $n$ là $44$

 

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là $f@$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương $f@$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 1 :   

            Ta dễ dàng tính được :         $\left\{\begin{matrix} AH=12 & & & \\ BH=5 & & & \\ CH=9 & & & \\ DH=\sqrt{45} & & & \end{matrix}\right.$        

                                                  ( trong đó H là giao điểm của $ AD$ và $BC$ )  

 

Từ đó tính được    :      $AD=12-\sqrt{45}=m-\sqrt{n}$  

 

Ta suy ra   :                 $m=12 , n=45$    suy ra  :      $100m+n=1245$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#4
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là $f@$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương $f@$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 4 :      Ta có :      $\widehat{ADE}=\widehat{DAE}=\widehat{CBE}=\widehat{BCE}=75^{0}$

 

         Từ đó suy ra :    $\widehat{DEA}=30^{0}$

 

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADE :        

                                                              $AD=4.cos{75}=\sqrt{6}+\sqrt{4}$

Tiếp :   áp dụng  định lí cos cho tam giác ADB  : 

                                    $AB^{2}=104-12\sqrt{12}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=104 & & \\ b=-12 & & \\ c=12 & & \end{matrix}\right.$

 

Từ đây suy ra :     $a+b+c=104-12+12=104$


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#5
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

 

USA NIMO - Contest 15 (15/09/2014)

 
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ với độ dài các cạnh $AB,$ $BC,$ $CA$ lần lượt là $13, 14$ và $15$. Lấy một điểm $D$ nằm trong $\Delta ABC$ sao cho $\overline{BD} \perp \overline{CD}$ và $\overline{AD} \perp \overline{BC}$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AD$ có thể biễu diễn được dưới dạng $\left( m-\sqrt{n}\right)$, với $m$ và $n$ là các số nguyên dương. Hãy tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Michael Ren

Bài 2: Trong hình vẽ dưới đây, có bao nhiêu cách mà ta có thể chọn các cặp hình vuông không kề nhau (có chung cạnh)?
 

nimo15.png


Proposed by Evan Chen

Bài 3: Với $S = \left\{ 1,2, \dots, 2014 \right\}$, giả sử rằng
$$\sum_{T \subseteq S} i^{\left\lvert T \right\rvert} = p + qi$$
Trong đó, $p$ và $q$ là các số nguyên, $i = \sqrt{-1}$, và tổng trên được thực hiện với tất cả $2^{2014}$ tập con của $S$. Tìm số dư khi chia $\left\lvert p\right\rvert + \left\lvert q \right\rvert$ cho $1000$. ($\left\lvert X \right\rvert$ được dùng để ký hiệu cho số các phần tử của tập hợp $X$.)

Proposed by David Altizio

Bài 4: Cho các điểm $A,$ $B,$ $C,$ và $D$ trên một đường tròn sao cho dậy cung $\overline{AC}$ và $\overline{BD}$ cắt nhau tại một điểm $E$ nằm trong đường tròn. Giả sử $\angle ADE =\angle CBE = 75^\circ,$ $BE=4,$ và $DE=8$.
Biết rằng giá trị $AB^2$ có thể viết được dưới dạng $a+b\sqrt{c}$ với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$; và $c$ không chia hết cho bình phương của một số nguyên tố nào. Tìm giá trị của $a+b+c$.

Proposed by Tony Kim

Bài 5: Cho $r,$ $s,$ $t$ là các nghiệm của đa thức $x^3+2x^2+x-7$. Theo đó, ta có:
$$\left(1+\frac{1}{(r+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(s+2)^2}\right)\left(1+\frac{1}{(t+2)^2}\right)=\frac{m}{n}$$
Với $m$ và $n$ là các số nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $(100m+n)$.

Proposed by Justin Stevens

Bài 6: Với mỗi số nguyên dương $k$, ta lấy $f(k)=k^2+k+1$. Hãy tính giá trị lớn nhất của số nguyên dương $n$ sao cho
$$2015f(1^2)f(2^2)\cdots f(n^2)\geq \Big(f(1)f(2)\cdots f(n)\Big)^2$$.

Proposed by David Altizio

Bài 7: Tìm tổng các ước số nguyên tố của $67208001$, biết rằng $23$ là một trong các số đó.

Proposed by Justin Stevens

Bài 8: Với các số nguyên dương $a,$ $b,$ và $c$, lấy
$$f(a,b,c)=\frac{abc}{\text{gcd}(a,b,c)\cdot\text{lcm}(a,b,c)}$$.
Ta gọi số nguyên dương $n$ là $f@$ nếu tồn tại bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau $x,y,z\leq 60$ sao cho $f(x,y,z)=n$. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu số nguyên dương $f@$?

(Ở đây, $gcd(a,b,c)$ và $lcm(a,b,c)$ được dùng để ký hiệu cho ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của bộ số $(a,b,c)$)

Proposed by Michael Ren

 

Bài 3 :  Vì $\left | T \right |$  là số phần tử của tất cả các tập hợp của $A=\begin{Bmatrix} 1,2,,...,2014 \end{Bmatrix}$ 

Nên  ta sẽ có tổng sau :    

                      

                             $2014.i^{1}+C^{2}_{2014}.i^{2}+...+C^{2014}_{2014}.i^{2014}$ (*)

 

Nhận xét  : 1.     $i^{k}+i^{2014-k}=i^{k}(1+(-1)^{1007-k})\Rightarrow i^{k}+i^{2014-k}=0$ (   với $k$ là số chẵn )  

 

                    2.      $i^{2k+1}+i^{2013-2k}=i(i+1).(-1)^{k}$

 

Từ đó (*) viết lại :           $(C^{1}_{2014}-C^{3}_{2014}+...+C^{2013}_{2014})i(i+1)$

 

Từ đây ta tính được   :        $\begin{bmatrix} p=2^{2013} & \\ q=-2^{2013} & \end{bmatrix}$ 

 

Vậy số dư là   :  0  

  

P/s :  Không biết có đúng không nhưng ý tưởng là như thế !  


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 14-12-2014 - 11:03

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: usa, nimo, monthly, contest, 2014

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh