Tìm tất cả hàm $f :$ R --> R thỏa mãn:
$f(x)f(yf(x))=f(x+y).$
ước gì đọc được bài này trước khi đi thi vòng 2 hà nội , bài này là olympic toán sinh viên 2000 của london
cách làm của a cẩn :Giả sử tồn tại y sao cho f(y)>1, ta thay x=y/(f(y)-1) thì xf(y)=x+y, từ đó suy ra f(y)=1 (vô lý). Do đó f(y)<=1 với mọi y. Từ đó suy ra f(x+y)=f(y)f(xf(y))<=f(y), tức f là hàm không tăng.
Nếu tồn tại a<b sao cho f(a)=f(b), ta thay y=a và y=b vào phương trình rồi so sánh hai lần thay thì có f(x+a)=f(x+b). Điều này chứng tỏ f là hàm tuần hoàn chu kỳ b-a trên miền (a, +oo). Mà f đơn điệu nên ta có f(x) đồng nhất bằng c với x>a. Bây giờ, ta cố định y rồi cho x đủ lớn sao cho xf(y) và x+y đều lớn hơn a. Khi đó sẽ có f(y)=1 với mọi y>0. Đây là một nghiệm của bài toán.
Tiếp theo, ta xét trường hợp f giảm ngặt. Khi đó, thay x bởi x/f(y), ta được f(x)f(y)=f(x/f(y)+y)=f(y/f(x)+x), từ đó suy ra
x/f(y)+y=y/f(x)+x.
Ta thu được nghiệm thứ hai f(x)=1/(1+kx) với k>0 từ đây
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh