cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$
tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
NTP
cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$
tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
NTP
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$
tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
NTP
Không mất tính tổng quát giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.
Áp dụng kĩ thuật tách cô si ngược dấu có:
$\frac{x^2+1}{y^2+1}=x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{(y^2+1)}\leq x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{2}$
Tương tự có:$P\leq x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2(y^2+1)+y^2(z^2+1)+z^2(x^2+1)}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{2}+3\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}+3=\frac{7}{2}$
Dấu bằng xảy ra $x=1,y=z=0$ và các hoán vị!
Em không chắc cách này đúng mong các anh chị xem hộ bài!
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhéKhông mất tính tổng quát giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.
Áp dụng kĩ thuật tách cô si ngược dấu có:
$\frac{x^2+1}{y^2+1}=x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{{\color{Red} y^2+1}}\leq x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{{\color{Red} 2}}$
Tương tự có:$P\leq x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2(y^2+1)+y^2(z^2+1)+z^2(x^2+1)}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{2}+3\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}+3=\frac{7}{2}$
Dấu bằng xảy ra $x=1,y=z=0$ và các hoán vị!
Em không chắc cách này đúng mong các anh chị xem hộ bài!
sao thiết lập được cả ba cái như vậy nhỉ nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ rồi
NTP
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
sao thiết lập được cả ba cái như vậy nhỉ nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ rồi
NTP
Cách này em làm nhầm
Đặt $a=x^2+1,b=y^2+1,c=z^2+1$
Từ giả thiết suy ra :$a,b,c\in \left [1;2 \right ]$
Bài toán trở thành tìm max:
$A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c=>(b-a)(b-c)\leq 0<=>\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\leq \frac{a}{c}+1$
Do $a,b,c\in \left [ 1;2 \right ]<=>(2a-c)(2c-a)\geq 0<=>\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leq \frac{5}{2}=>A\leq 1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}$
Chính trị chỉ cho hiện tại,nhưng phương trình là mãi mãi
(Albert Einstein)Đừng xấu hổ khi không biết ,chỉ xấu hổ khi không học
Các bạn ủng hộ kỹ thuật tìm điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức nhégiờ anh mới xem đc lời giải của em, về ý tưởng giải bằng AM-GM của em khá hay, nhưng rất tiếc bị sai ở chỗ AM-GM cho 2 số $x^2$ và $1$ rồi đơn giản nhưng em chưa đơn giản $y$ ở tử sốKhông mất tính tổng quát giả sử $x=max\left \{ x,y,z \right \}$.
Áp dụng kĩ thuật tách cô si ngược dấu có:
$\frac{x^2+1}{y^2+1}=x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{(y^2+1)}\leq x^2+1-\frac{y^2(x^2+1)}{2}$
Tương tự có:$P\leq x^2+y^2+z^2+3-\frac{x^2(y^2+1)+y^2(z^2+1)+z^2(x^2+1)}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2-(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}{2}+3\leq \frac{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)}{2}+3=\frac{7}{2}$
Dấu bằng xảy ra $x=1,y=z=0$ và các hoán vị!
Em không chắc cách này đúng mong các anh chị xem hộ bài!
Theoi mình thì lời giải ban đầu của Mikhail Leptchinski là hoàn toàn chính xác
giờ anh mới xem đc lời giải của em, về ý tưởng giải bằng AM-GM của em khá hay, nhưng rất tiếc bị sai ở chỗ AM-GM cho 2 số $x^2$ và $1$ rồi đơn giản nhưng em chưa đơn giản $y$ ở tử số
sao thiết lập được cả ba cái như vậy nhỉ nếu vậy dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$ rồi
NTP
Với điều kiện $x=max$ thì đẳng thức $x=1,y=z=0$, mình nghĩ là bạn ấy không hề sử dụng AM-GM gì cả mà chỉ dùng đánh giá hiển nhiên là $x,y,z \leq 1$, như vậy với cách tách $\dfrac{x^{2}+1}{y^{2}+1} = x^{2}+1-\dfrac{y^{2}(x^{2}+1)}{y^{2}+1}$ thì tử số xem như =0 nên việc cho $y \leq 1$ ở mẫu là đúng, tương tự đánh giá với $z$, còn $\dfrac{z^{2}+1}{x^{2}+1} = z^{2}+1-\dfrac{x^{2}(z^{2}+1)}{x^{2}+1}$ có tử số khác 0 nhưng đánh giá $x \leq 1$ là đúng vì đẳng thức xảy ra khi $x=1$
Các bạn có thể xem bài toán này cũng có dấu = tương tự
cho $x,y,z\geq 0$ thỏa $x+y+z=1$
tìm GTLN của $P=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
NTP
Giả sử x = max{x,y,z} thì $\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant 1$
Ta xét bất đẳng thức: $\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}\leqslant (y+z)^2+1+\frac{1}{x^2+1}$
Nó tương đương với: $\frac{z(x^2z^3+2x^2yz^2+2yz^2+x^2y^2z+y^2z+2x^2z+z+2x^2y+2y)}{(x^2+1)(z^2+1)}\geqslant 0$
và $\frac{x^2+1}{y^2+1}\leqslant x^2+1$
Suy ra $VT\leqslant x^2+(y+z)^2 + \frac{1}{x^2+1}+2\leqslant \frac{7}{2}\Leftrightarrow \frac{(1-x)(1-3x-4x^3)}{2(x^2+1)}\leqslant 0$ *đúng*
Đẳng thức xảy ra khi có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh