cho $a,b,c>$ thỏa $a^3+b^3+c^3=3$
tìm GTLN $P=\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}$
NTP
cho $a,b,c>$ thỏa $a^3+b^3+c^3=3$
tìm GTLN $P=\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}$
NTP
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
cho $a,b,c>$ thỏa $a^3+b^3+c^3=3$
tìm GTLN $P=\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}$
NTP
Tớ nghĩ $P=\sum \frac{a}{b^2+5}$. Dự đoán dấu "=" của BĐT xảy ra khi $a=b=c=1$. Khi đó $P=\frac{1}{2}$
Ta sẽ C/m $P \leq \frac{1}{2}$
Áp dụng BĐT $\textrm {AM-GM}$, ta có
$P\leq \sum \frac{a}{2b+4}=\sum \frac{1}{2}.\frac{a}{b+2}$
Ta cần C/m $\sum \frac{a}{b+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum ab^2+2(a^2+b^2+c^2)\leq abc+8$
Theo BĐT Bunhiacopxki ta có
$(a^2+b^2+c^2)^2\leq (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\leq 3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 3$
Như vậy ta chỉ cần C/m $ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq 2$ là xong
Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên giả sử $b\leq c\leq a$
$\Rightarrow b(b-c)(a-c)\leq 0\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq c(a^2+b^2)$
Áp dụng BĐT $\textrm{AM-GM}$, ta có
$c^2(a^2+b^2)^2=\frac{1}{2}.2c^2(a^2+b^2)(a^2+b^2)\leq \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \frac{2c^2+a^2+b^2+a^2+b^2}{3} \end{pmatrix}^3=\frac{1}{2}.\begin{pmatrix} \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3} \end{pmatrix}^3\leq 4$
$\Rightarrow c(a^2+b^2)\leq 2$$\Rightarrow \textrm{ĐPCM}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 18-09-2014 - 17:59
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Tưởng đề là $\sum \frac{a}{b^2+5}\leq \frac{1}{2}$ mới đúng chứ!
Tớ nghĩ $P=\sum \frac{a}{b^2+5}$. Dự đoán dấu "=" của BĐT xảy ra khi $a=b=c=1$. Khi đó $P=\frac{1}{2}$
đề đúng đấy
NTP
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 18-09-2014 - 19:03
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
cho $a,b,c>$ thỏa $a^3+b^3+c^3=3$
tìm GTLN $P=\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}$
NTP
$\sum \frac{a^2}{b+5}\geq \frac{1}{2\sqrt{3}}(\sum \frac{a^2}{\sqrt{b+2}})\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{3\sum \frac{a}{b+2}}$
phần còn lại làm như nguyenhongsonk612 là được
NTP
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh