Chủ đề này có 4 trả lời

[chardhdmovies]

cho $a,b,c>$ thỏa $a^3+b^3+c^3=3$

tìm GTLN $P=\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}$

 

NTP

 

[HoangHungChelski]

Tưởng đề là $\sum \frac{a}{b^2+5}\leq \frac{1}{2}$ mới đúng chứ!

[nguyenhongsonk612]

cho $a,b,c>$ thỏa $a^3+b^3+c^3=3$

tìm GTLN $P=\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}$

 

NTP

Tớ nghĩ $P=\sum \frac{a}{b^2+5}$. Dự đoán dấu "=" của BĐT xảy ra khi $a=b=c=1$. Khi đó $P=\frac{1}{2}$

Ta sẽ C/m $P \leq \frac{1}{2}$

Áp dụng BĐT $\textrm {AM-GM}$, ta có

$P\leq \sum \frac{a}{2b+4}=\sum \frac{1}{2}.\frac{a}{b+2}$

Ta cần C/m $\sum \frac{a}{b+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum ab^2+2(a^2+b^2+c^2)\leq abc+8$

Theo BĐT Bunhiacopxki ta có

$(a^2+b^2+c^2)^2\leq (a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\leq 3\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq 3$

Như vậy ta chỉ cần C/m $ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq 2$ là xong

Do vai trò của $a,b,c$ là như nhau nên giả sử $b\leq c\leq a$

$\Rightarrow b(b-c)(a-c)\leq 0\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2-abc\leq c(a^2+b^2)$

Áp dụng BĐT $\textrm{AM-GM}$, ta có

$c^2(a^2+b^2)^2=\frac{1}{2}.2c^2(a^2+b^2)(a^2+b^2)\leq \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \frac{2c^2+a^2+b^2+a^2+b^2}{3} \end{pmatrix}^3=\frac{1}{2}.\begin{pmatrix} \frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3} \end{pmatrix}^3\leq 4$

$\Rightarrow c(a^2+b^2)\leq 2$$\Rightarrow \textrm{ĐPCM}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 18-09-2014 - 17:59

[chardhdmovies]

Tưởng đề là $\sum \frac{a}{b^2+5}\leq \frac{1}{2}$ mới đúng chứ!

 

 

Tớ nghĩ $P=\sum \frac{a}{b^2+5}$. Dự đoán dấu "=" của BĐT xảy ra khi $a=b=c=1$. Khi đó $P=\frac{1}{2}$

đề đúng đấy

 

NTP

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 18-09-2014 - 19:03

[chardhdmovies]

cho $a,b,c>$ thỏa $a^3+b^3+c^3=3$

tìm GTLN $P=\frac{a^2}{b+5}+\frac{b^2}{c+5}+\frac{c^2}{a+5}$

 

NTP

$\sum \frac{a^2}{b+5}\geq \frac{1}{2\sqrt{3}}(\sum \frac{a^2}{\sqrt{b+2}})\leq \frac{1}{2\sqrt{3}}\sqrt{3\sum \frac{a}{b+2}}$

phần còn lại làm như nguyenhongsonk612 là được

 

NTP