Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR:
$a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 4$
$a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 4$
Bắt đầu bởi lethanhson2703, 19-09-2014 - 08:46
#1
Đã gửi 19-09-2014 - 08:46
lethanhson2703
-
- Thành viên
-
- 297 Bài viết
Thượng sĩ
#2
Đã gửi 19-09-2014 - 09:30
Dinh Xuan Hung
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1396 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR:
$a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 4$
Bài này có ở đây rồi bạn http://diendantoanho...p?/topic/127757
- lethanhson2703 và nguyenhongsonk612 thích
#3
Đã gửi 19-09-2014 - 23:05
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $a+b+c=3$. CMR:
$a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 4$ $(1)$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
$(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leq (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}$
$\Rightarrow$$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^{3}}{3}}$
$\Rightarrow VT(1)\geq a^2+b^2+c^2+\frac{\sqrt{3}(ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Đặt $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=t$. Theo BĐT $AM-GM$ ta dễ dàng suy ra được $t \geq \sqrt{3}$
Theo GT ta có: $9=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $ab+bc+ca=\frac{9-t^2}{2}$
Như vậy ta cần chứng minh $t^2+\frac{9\sqrt{3}-\sqrt{3}t^2}{2t^3}\geq 4\Leftrightarrow (t-\sqrt{3})(2t^4+2\sqrt{3}t^3-2t^2-3\sqrt{3}t-9)\geq 0$ $(2)$
Ta sẽ C/m $2t^4+2\sqrt{3}t^3-2t^2-3\sqrt{3}t-9> 0$ để BĐT $(2)$ đúng
Ta có
$2t^4+2\sqrt{3}t^3-2t^2-3\sqrt{3}t-9=2t^2(t^2-1)+\sqrt{3}t(2t^2-3)-9\geq 2.3(3-1)+3(2.3-3)-9=12> 0$
từ đó ta dễ đàng suy ra đpcm.
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 20-09-2014 - 11:49
- chieckhantiennu, dogsteven, datmc07061999 và 2 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#4
Đã gửi 11-01-2015 - 21:52
Trinh Hong Ngoc
-
- Thành viên
-
- 57 Bài viết
Hạ sĩ
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
$(a^2b+b^2c+c^2a)^2\leq (a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}$
$\Rightarrow$$a^2b+b^2c+c^2a\leq \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^{3}}{3}}$
$\Rightarrow VT(1)\geq a^2+b^2+c^2+\frac{\sqrt{3}(ab+bc+ca)}{(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
Đặt $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=t$. Theo BĐT $AM-GM$ ta dễ dàng suy ra được $t \geq \sqrt{3}$
Theo GT ta có: $9=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ $ab+bc+ca=\frac{9-t^2}{2}$
Như vậy ta cần chứng minh $t^2+\frac{9\sqrt{3}-\sqrt{3}t^2}{2t^3}\geq 4\Leftrightarrow (t-\sqrt{3})(2t^4+2\sqrt{3}t^3-2t^2-3\sqrt{3}t-9)\geq 0$ $(2)$
Ta sẽ C/m $2t^4+2\sqrt{3}t^3-2t^2-3\sqrt{3}t-9> 0$ để BĐT $(2)$ đúng
Ta có
$2t^4+2\sqrt{3}t^3-2t^2-3\sqrt{3}t-9=2t^2(t^2-1)+\sqrt{3}t(2t^2-3)-9\geq 2.3(3-1)+3(2.3-3)-9=12> 0$
từ đó ta dễ đàng suy ra đpcm.
Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$
giải thích hộ em.
em nghĩ 9=3^2 , khai triển bình phương của (a+b+c)^2 nhưng không phải ak
File gửi kèm
-
untitled4.bmp 3MB
144 Số lần tải
- nguyenhongsonk612 yêu thích
THN
#5
Đã gửi 09-04-2015 - 15:54
nguyenhongsonk612
-
- Thành viên
-
- 1451 Bài viết
Thượng úy
giải thích hộ em.
em nghĩ 9=3^2 , khai triển bình phương của (a+b+c)^2 nhưng không phải ak
Cái chỗ đó mình viết nhầm đấy bạn. phải là $\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{9-t^2}{2}$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
