Chủ đề này có 1 trả lời

[Messi10597]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ . Tìm GTLN của biểu thức:

      $P=\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi10597: 20-09-2014 - 13:24

[Huy Thong]

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ . Tìm GTLN của biểu thức:

      $P=\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}$

 

Đặt $x=a^2, y=b^2, z=c^2$ $(a,b,c>0)$ thì $a+b+c=1$

Khi đó ta có

$\textrm{P}=\sum \dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2+2c^2}} \leq \sum \dfrac{ab\sqrt{2}}{\sqrt{(a+c)^2+(b+c)^2}}\leq \sum \dfrac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \leq$

$\leq \dfrac{1}{2}\sum \left ( \dfrac{ab}{a+c}+\dfrac{ab}{b+c} \right )=\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{1}{2}$