Đến nội dung

Hình ảnh

$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
onelove1816

onelove1816

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 10 Bài viết

$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$


Mọi con đường dẫn đến thành công đều xuất phát từ nỗ lực của bản thân!!!  :icon12: 


#2
caybutbixanh

caybutbixanh

    Trung úy

  • Thành viên
  • 888 Bài viết

$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$

Bạn tham khảo lời giải sau :(của chú chanhquocnghiem)

 Lời giải :

 

Trước hết phân tích $x^4-x^2+1=x^4+2x^2+1-3x^2=(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)$

Đặt $\frac{1}{x^4-x^2+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{3}x+1}+\frac{-Ax+C}{x^2-\sqrt{3}x+1}$

Suy ra 3 pt :

$B+C-2A\sqrt{3}=0$

$B=C$

$2B=1$

---> $\frac{1}{x^4-x^2+1}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{3}x+1}+\frac{-\frac{x}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{3}x+1}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\left ( \frac{x+\sqrt{3}}{x^2+\sqrt{3}x+1}-\frac{x-\sqrt{3}}{x^2-\sqrt{3}+1} \right )$

$\int \frac{x+\sqrt{3}}{x^2+\sqrt{3}x+1}dx=\int \frac{\frac{1}{2}(2x+\sqrt{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}}{x^2+\sqrt{3}x+1}dx=\frac{1}{2}ln(x^2+\sqrt{3}x+1)+\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{d\left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}{\left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\frac{1}{4}}$

$=\frac{1}{2}ln(x^2+\sqrt{3}x+1)+\sqrt{3}\arctan(2x+\sqrt{3})+C$

Tương tự $\int \frac{x-\sqrt{3}}{x^2-\sqrt{3}x+1}dx=\frac{1}{2}ln(x^2-\sqrt{3}x+1)-\sqrt{3}\arctan(2x-\sqrt{3})+C$

Vậy $\int \frac{dx}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\frac{x^2+\sqrt{3}x+1}{x^2-\sqrt{3}x+1}+\frac{1}{2}\left [ arctan(2x+\sqrt{3})+arctan(2x-\sqrt{3}) \right ]+C$

Thay các cận vào, cuối cùng được 

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln(2+\sqrt{3})+\frac{\pi }{4}$

 

KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG



MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.



(FRANZ BECKEN BAUER)




ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh