$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$
$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$
#1
Đã gửi 20-09-2014 - 19:45
#2
Đã gửi 01-10-2014 - 00:24
$\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{4}-x^{2}+1}$
Bạn tham khảo lời giải sau :(của chú chanhquocnghiem)
Lời giải :
Trước hết phân tích $x^4-x^2+1=x^4+2x^2+1-3x^2=(x^2+\sqrt{3}x+1)(x^2-\sqrt{3}x+1)$
Đặt $\frac{1}{x^4-x^2+1}=\frac{Ax+B}{x^2+\sqrt{3}x+1}+\frac{-Ax+C}{x^2-\sqrt{3}x+1}$
Suy ra 3 pt :
$B+C-2A\sqrt{3}=0$
$B=C$
$2B=1$
---> $\frac{1}{x^4-x^2+1}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{3}x+1}+\frac{-\frac{x}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{3}x+1}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\left ( \frac{x+\sqrt{3}}{x^2+\sqrt{3}x+1}-\frac{x-\sqrt{3}}{x^2-\sqrt{3}+1} \right )$
$\int \frac{x+\sqrt{3}}{x^2+\sqrt{3}x+1}dx=\int \frac{\frac{1}{2}(2x+\sqrt{3})+\frac{\sqrt{3}}{2}}{x^2+\sqrt{3}x+1}dx=\frac{1}{2}ln(x^2+\sqrt{3}x+1)+\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{d\left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}{\left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^2+\frac{1}{4}}$
$=\frac{1}{2}ln(x^2+\sqrt{3}x+1)+\sqrt{3}\arctan(2x+\sqrt{3})+C$
Tương tự $\int \frac{x-\sqrt{3}}{x^2-\sqrt{3}x+1}dx=\frac{1}{2}ln(x^2-\sqrt{3}x+1)-\sqrt{3}\arctan(2x-\sqrt{3})+C$
Vậy $\int \frac{dx}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\frac{x^2+\sqrt{3}x+1}{x^2-\sqrt{3}x+1}+\frac{1}{2}\left [ arctan(2x+\sqrt{3})+arctan(2x-\sqrt{3}) \right ]+C$
Thay các cận vào, cuối cùng được
$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^4-x^2+1}=\frac{1}{4\sqrt{3}}\ln\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}+\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\ln(2+\sqrt{3})+\frac{\pi }{4}$
- onelove1816 yêu thích
KẺ MẠNH CHƯA CHẮC ĐÃ THẮNG
MÀ KẺ THẮNG MỚI CHÍNH LÀ KẺ MẠNH!.
(FRANZ BECKEN BAUER)
ÔN THI MÔN HÓA HỌC TẠI ĐÂY.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh